[論文レビュー] Projective dimension of (hyper)graphs and the Castelnuovo-Mumford regularity of bipartite graphs

Türker Bı́yı́koğlu, Yusuf Civan|arXiv (Cornell University)|May 10, 2016

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 19被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、(超)グラフの射影次元とそのレヴィグラフのカステルヌーヴォ・マウムフォード正則性の間の基本的不等式を確立し、任意の超グラフℋに対してproj-dim(ℋ) ≤ reg(ℒ(ℋ))が成り立つことを証明している。さらに、任意のグラフGに対して、proj-dim(G) = reg(S(H))を満たす誘導部分グラフHが存在することを示し、既知の射影次元の上限に関する多くの既存の境界が著しくタイトでないことを示す明示的なグラフ族を構成している。

ABSTRACT

We prove that the projective dimension of any (hyper)graph can be bounded from above by the (Castelnuovo-Mumford) regularity of its Levi graph (or incidence bipartite graph). This in particular brings the use of regularity's upper bounds on the calculation of projective dimension of (hyper)graphs. When G is just a (simple) graph, we prove that there exists an induced subgraph H of G such that prod-dim(G)=reg(S(H)), where S(H) is the subdivision graph of H. Moreover, we show that known upper bounds on prod-dim(G) involving domination parameters are in fact upper bounds to reg(S(G)).

研究の動機と目的

• 単項イデアルにおける射影次元と正則性の間のテラの双対性の組合せ的性質を解明すること。
• （超）グラフの射影次元とそのレヴィグラフの正則性を関連付ける一般不等式を確立すること。
• 支配パラメータを含む既知の射影次元の上限に関する境界が、実際には分割グラフの正則性に関する境界であることを示すこと。
• 既存の射影次元の境界がタイトでないことを示す明示的なグラフ族を構成すること。

提案手法

• 単項イデアルのアレクサンダー双対の射影次元と正則性の間のテラの双対性を用いて、組合せ的不変量を関連付ける。
• 超グラフℋのインシデント双対グラフとしてのレヴィグラフℒ(ℋ)の定義と分析。
• グラフHの分割グラフS(H)の導入と、proj-dim(H)とreg(S(H))との関係における役割の考察。
• 任意の頂点を削除すると射影次元が厳密に減少するような、体ℬk上の射影的素グラフの定義。
• 不等式proj-dim(G) ≤ max{proj-dim(G−N[x])+deg(x), proj-dim(G−x)+1}の応用により、極値例を構成する。
• 完全二部グラフと経路成分を用いて、境界の緩さを示すグラフ族G_aとH_bの構成。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の（超）グラフℋに対して不等式proj-dim(ℋ) ≤ reg(ℒ(ℋ))が成り立つか。また、これは射影次元の計算にどのような意味を持つのか？
• RQ2 グラフGの射影次元は、Gのある誘導部分グラフHの分割グラフの正則性として実現可能か？
• RQ3 独立数i(G)、支配数γ(G)、辺支配数ε(G)などの支配パラメータは、分割グラフの正則性および射影次元とどのように関係するか？
• RQ4 支配パラメータを含む既知のproj-dim(G)の上限境界はタイトか。それらは著しく改善可能か？
• RQ5 射影的素グラフの構造的性質は何か。また、それらは極値例の構成にどのように利用できるか？

主な発見

• 任意の超グラフℋに対して、ℒ(ℋ)をℋのレヴィグラフとするとき、proj-dim(ℋ) ≤ reg(ℒ(ℋ))が成り立つ。これにより、正則性の境界を用いて射影次元を推定することが可能になる。
• 任意のグラフGに対して、S(H)をHの分割グラフとするとき、proj-dim(G) = reg(S(H))を満たす誘導部分グラフHが存在する。
• 支配パラメータ（例：|G|−γ(G)）を含む既知のproj-dim(G)の上限境界は、実際にはreg(S(G))に関する境界にすぎず、必ずしもproj-dim(G)に関するものではない。
• 任意のa ≥ 1に対して、|G_a|−i(G_a)+a < proj-dim(G_a) < |G_a|−γ(G_a)−aを満たすグラフG_aが存在する。これにより、両方の境界が著しくタイトでないことが示される。
• 任意のb ≥ 1に対して、|H_b|−γ(H_b)+b < proj-dim(H_b) < |H_b|−ε(H_b)−bを満たすグラフH_bが存在する。これにより、支配に基づく境界の緩さがさらに確認される。
• 射影的素グラフの構成により、既存の射影次元の境界が鋭くない極値例の作成が可能になる。