[論文レビュー] Projective divisible binary codes

Daniel Heinlein, Thomas Honold+3 more|arXiv (Cornell University)|Mar 24, 2017

Coding theory and cryptography参考文献 15被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、射影幾何における部分 $r$-スオートの由来である、$2^r$-可除な射影的二進線型符号の存在と分類を調査する。符号と $
\mathrm{PG}(k-1,\mathbb{F}_2)$ 内の点集合との間の対応関係を確立し、明示的な構成法を提示するとともに、$r \leq 3$ の場合、長さ $n \leq 48$ のすべてのこのような符号が分類され、重みが 16 と 24 の唯一つの $[45,8]$ 二重重み符号が新たな例として同定された。

ABSTRACT

For which positive integers $n,k,r$ does there exist a linear $[n,k]$ code $C$ over $\mathbb{F}_q$ with all codeword weights divisible by $q^r$ and such that the columns of a generating matrix of $C$ are projectively distinct? The motivation for studying this problem comes from the theory of partial spreads, or subspace codes with the highest possible minimum distance, since the set of holes of a partial spread of $r$-flats in $\operatorname{PG}(v-1,\mathbb{F}_q)$ corresponds to a $q^r$-divisible code with $k\leq v$. In this paper we provide an introduction to this problem and report on new results for $q=2$.

研究の動機と目的

• パラメータ $n,k,r$ に対して、射影的 $2^r$-可除な二進 $[n,k]$ 符号が存在するかを特定すること。
• 部分 $r$-スオートのホール構成を介して、このような符号と $\mathrm{PG}(k-1,\mathbb{F}_2)$ 内の点集合との幾何的対応関係を確立すること。
• すべての射影的 $2^r$-可除な二進符号を $r \leq 3$ および $n \leq 48$ の範囲で分類すること、新規の二重重み符号を含む。
• フラット、和集合、一般化されたコーンなどの幾何的対象を用いて、このような符号の明示的構成を提供すること。
• 可除符号を最大部分 $r$-スオートに結びつけることで、部分空間符号の未解決事項を解消すること。

提案手法

• 生成行列を介して線形符号を $\mathrm{PG}(k-1,\mathbb{F}_2)$ 内の点の多重集合へ写像し、重みおよび可除性の性質を保持する。
• ホール構成の利用：$\mathrm{PG}(v-1,\mathbb{F}_2)$ 内の部分 $r$-スオートにおける被覆されない点の集合は、$2^r$-可除な符号に対応する。
• 符号の重みと超平面の重複度の双対性の応用：$\mathrm{w}(\mathbf{c}) = n - \mathfrak{K}_C(\mathbf{a}^\perp)$ により $2^r$-可除性が保証される。
• 射影的またはアフィン的 $r$-フラットの互いに素な和集合、および共通頂点を持つ一般化されたコーン構成による符号の構築。
• 計算ツール（SageMath）およびデータベース照会を用いて、二重偶数および三重偶数符号の既知の分類を活用する。
• $\mathrm{d}(C^\perp) \geq 3$ 条件を用いて、射影的性（つまり、射影的に異なる列）を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの整数 $n,k,r$ に対して、射影的 $2^r$-可除な二進 $[n,k]$ 符号が存在するか。
• RQ2 小規模な $r$（特に $r \leq 3$）および $n \leq 48$ の範囲で、このような符号の完全な分類は何か。
• RQ3 フラットや一般化されたコーンの和集合とは異なる方法で得られない $2^r$-可除な符号は存在するか。
• RQ4 射影的基底やその直線のような幾何的構成から、新たな二重重み符号を構成できるか。
• RQ5 部分 $r$-スオートおよびそのホールの文脈において、パラメータ $n,k$ と環境次元 $v$ の関係は何か。

主な発見

• すべての射影的 $2^r$-可除な二進 $[n,k]$ 符号について、$r \leq 3$ および $n \leq 48$ の範囲で完全に分類され、各 $n,k$ に対して個数が提示された。
• $n=45$, $k=8$ の場合、重みが 16 と 24 の唯一つの $[45,8]$ 二重重み符号が存在し、これは $\mathrm{PG}(7,\mathbb{F}_2)$ 内の射影的基底およびその点を結ぶすべての直線に対応する。
• $n=31$, $k=5$ の場合、6 種類の異なる符号が存在し、その中に重みが 16 と 24 の $[31,5]$ 二重重み符号が含まれる。
• 長さ $k=2r+4=12$ の $[48,12]$ 符号を、2 つのアフィン的 $(r+1)$-フラットの互いに素な和集合として構築すると、$r=3$ 時に唯一のタイプが得られる。
• $n=2^{r+2}-2$ の場合、$k=2r+2$ 次元における 2 つの射影的 $r$-フラットの互いに素な和集合は、$2^r$-可除な符号を生成する。
• 共通の $(r-2)$-フラット $V$ を通る 8 個の $r$-フラットを用いた新しい構成法により、画像が射影的基底をなすようにし、$[2^{r+2}, r+6]$ 符号（$k=r+6$）が得られる。