[論文レビュー] Projective geometry and the outer approximation algorithm for multiobjective linear programming

Benjamin A. Burton, Melih Özlen|arXiv (Cornell University)|Jun 15, 2010

Advanced Optimization Algorithms Research参考文献 21被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、多目的線形プログラミングにおける効率的解の計算を簡素化するために、向き付けられた射影幾何学を導入する。有界な効率的同等多面体 $Y^{\boxplus}$ を射影多面体 $T^{\text{--}}$ に変換することで、非効率的頂点の数を $n$ と $p$ に対して指数的から正確に $p$ に削減し、外的近似アルゴリズムの実行時間を著しく改善する。

ABSTRACT

A key problem in multiobjective linear programming is to find the set of all efficient extreme points in objective space. In this paper we introduce oriented projective geometry as an efficient and effective framework for solving this problem. The key advantage of oriented projective geometry is that we can work with an "optimally simple" but unbounded efficiency-equivalent polyhedron, yet apply to it the familiar theory and algorithms that are traditionally restricted to bounded polytopes. We apply these techniques to Benson's outer approximation algorithm, using oriented projective geometry to remove an exponentially large complexity from the algorithm and thereby remove a significant burden from the running time.

研究の動機と目的

• 従来のアルゴリズムで生じる非効率的頂点の指数的増加に起因する、多目的線形プログラミングにおける計算ボトルネックを解消すること。
• 非有界な効率的同等多面体の組合せ的単純性を保ちつつ、有界多面体アルゴリズムの利用を可能にする幾何的フレームワークの開発。
• このフレームワークを外的近似アルゴリズムに適用し、中間多面体の複雑さを最小限に抑えることで、その実行時間を顕著に短縮すること。
• アルゴリズムの中間段階における非効率的頂点数を、$\Omega(n^{\lfloor(p-1)/2\rfloor})$ から正確に $p$ に削減できることを示すこと。
• 向き付けられた射影幾何学が、有界多面体を必要とする双対記述法のような主要アルゴリズムをサポートできることを確立すること。

提案手法

• 向き付けられた射影幾何学を用いて、出力集合 $Y^{=}$ と効率的同等であるが、$Y^{\text{--}}$ の組合せ的単純性と $Y^{\boxplus}$ の有界性を併せ持つ射影多面体 $T^{\text{--}}$ を構築する。
• $p$ 次元の目的空間の点を $p+1$ 個の同次座標で表現することで、無限遠点の取り扱いが可能になり、凸性と半空間構造が保存される。
• 外的近似アルゴリズムを向き付けられた射影空間に再定式化し、有界なユークリッド多面体 $Y^{\boxplus}$ の代わりに射影多面体 $T^{\text{--}}$ をターゲットとして用いる。
• $T^{\text{--}}$ における非効率的頂点数が正確に $p$ であることを示し、これはユークリッド設定における $2^p - 1$ の下界と $\Omega(n^{\lfloor(p-1)/2\rfloor})$ の上界とは対照的である。
• 中間多面体 $P_i$（ユークリッド空間内）と $Q_i$（射影空間内）の頂点数を比較することでアルゴリズムの複雑さを分析し、後者の指数的削減を示す。
• 有界な射影多面体 $T^{\text{--}}$ において双対記述法を活用する。これは、その有界性のおかげでのみ可能であり、非効率的頂点数の最小化を維持している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 向き付けられた射影幾何学を用いて、非有界多面体の組合せ的単純性と有界多面体のアルゴリズム的使いやすさを併せ持つ効率的同等多面体を構築できるか？
• RQ2 有界多面体 $Y^{\boxplus}$ を用いた標準的な外的近似アルゴリズムにおける非効率的頂点集合の漸近的複雑度は何か？
• RQ3 射影フレームワーク $T^{\text{--}}$ における非効率的頂点数は、ユークリッドフレームワーク $Y^{\boxplus}$ と比べて、$n$ と $p$ に依存する形でどのように異なるか？
• RQ4 非効率的頂点数の削減が、外的近似アルゴリズムの実行時間にどの程度の向上をもたらすか？
• RQ5 双対記述法は射影設定で効果的に適用可能か？また、$T^{\text{--}}$ の頂点数の削減はその利点を高めるか？

主な発見

• 射影多面体 $T^{\text{--}}$ における非効率的頂点数は、問題サイズ $n$ に依存せず正確に $p$ に保たれ、これはユークリッド設定とは顕著な改善である。
• 一方、有界ユークリッド多面体 $Y^{\boxplus}$ における非効率的頂点数は少なくとも $2^p - 1$ であり、$\Omega(n^{\lfloor(p-1)/2\rfloor})$ の速度で増加する可能性がある。
• $p = 8$ 目的の問題では、ユークリッドアルゴリズムが $\Omega(n^3)$ 個の非効率的頂点を生成する可能性があり、$n$ が大きい場合には計算的に不可能であるが、射影法では僅か 8 個に抑えられる。
• $p = 70$ 目的の問題では、ユークリッド法の最悪ケースでの非効率的頂点数 $2^{70} - 1$ は処理不能であるが、射影法ではわずか 70 個で処理可能である。
• 中間多面体の頂点数が $n$ に対して指数的から $n$ に対して定数かつ $p$ に対して線形に削減されたため、頂点列挙と隣接性テストを含むアルゴリズムの各ステップが顕著に高速化された。
• $p+1$ 次元座標を用いることによる射影空間での作業コストは、漸近的に無視可能であり、全体の複雑さに影響を及ぼさない。このため、本手法は効率的かつ実用的である。