[論文レビュー] Projective Lichnerowicz-Obata conjecture

Vladimir S. Matveev|arXiv (Cornell University)|Jul 20, 2004

Advanced Algebra and Geometry参考文献 52被引用数 7

ひとこと要約

本論文は、射影的リヒネルヴェイツ・オバータ予想を証明し、任意の連結リー群の作用が、未パラメータ化された測地線を保存する完備リーマン多様体上にある場合、その作用はアフィン変換であるか、または計量が一定正の断面曲率を持つ必要があることを確立している。この結果により、微分幾何学における長年の予想が解決され、非等長な射影的作用は、球面のみで可能であり、完全多様体上のこのような作用は完全に分類された。

ABSTRACT

We solve two classical conjectures by showing that if an action of a connected Lie group on a complete Riemannian manifold preserves the geodesics (considered as unparameterized curves), then the metric has constant positive sectional curvature, or the group acts by affine transformations.

研究の動機と目的

• 未パラメータ化された測地線を保存するリー群作用の構造に関するリーマン幾何学における2つの古典的予想を解決すること。
• リーマン多様体が非等長な射影的変換を許容するための正確な条件を特定すること。
• 未パラメータ化された測地線を保存する連結リー群の作用を、完全なリーマン多様体上で完全に分類すること。
• 非等長無限小射影変換の理論を完全に閉じることで、このような変換が定数正の曲率を持つ空間でのみ存在することを証明すること。

提案手法

• 射影的およびアフィン変換の理論を用い、未パラメータ化された測地線を測地線に写す微分同相写像（射影的微分同相写像）を定義する。
• 局所的射影接続理論およびトーマスの射影的パラメータの結果を応用し、無限小対称性を分析する。
• 射影的同値性下での曲率条件を調べるために、射影的ウェイルテンソルおよびテンソル不変量を用いる。
• 測地線流れの2次第一積分の空間を分析し、射影的同値計量の可能性を制限する。
• 2次元の例における射影的同値計量の明示的構成を用い、非比例計量が正定値または完全でないことを示す。
• 第一積分の空間の次元に関する次元制限（ビアンキの定理）を適用し、追加の独立積分が存在しないことを証明し、計量がスケーリングを除き一意であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連結リー群作用が、完全なリーマン多様体上で未パラメータ化された測地線を保存する場合、それがアフィン変換として作用する必要がある条件は何か？
• RQ2 定数正の断面曲率を持たない完全なリーマン多様体が、非等長な射影的変換を許容できるか？
• RQ3 特に計量が定数曲率でない場合に、与えられたリーマン多様体上の射影的同値計量の空間の構造はいかなるものか？
• RQ4 定数正の曲率計量以外の完全なリーマン計量で、非比例の射影的同値計量を許容するものはあるか？
• RQ5 完全な曲面上の測地線流れの2次第一積分の空間の最大次元は何か？ そして、それは射影的同値性にどのように制限を加えるか？

主な発見

• 射影的リヒネルヴェイツ予想が証明された：完全なリーマン多様体上で未パラメータ化された測地線を保存する任意の連結リー群作用は、アフィン変換として作用するか、または計量が一定正の断面曲率を持つ。
• 射影的オバータ予想が確立された：閉多様体上では、このような作用は等長的であるか、計量が一定正の曲率を持つ必要があり、その結果、多様体は球面（ラウンド・スフィア）である。
• ラウンド・スフィア以外の完全な曲面上のリーマン計量では、正定値かつ完全な非比例射影的同値計量は存在しない。
• 例1の計量に関しては、すべての射影的同値計量がそれ自身に比例しており、非比例の候補は正定値または完全でないため失敗する。
• 例2の計量に関しては、2次第一積分の空間の次元は正確に3であり、非負の独立積分は存在しないため、非比例の射影的同値計量が存在しないことが証明された。
• 非等長無限小射影変換の理論は完全に閉じられた：このような変換は、ラウンド・スフィアでのみ存在し、すべてが明示的に知られている。