[論文レビュー] Projective Limits of State Spaces IV. Fractal Label Sets

Suzanne Lanéry, Thomas Thiemann|arXiv (Cornell University)|Oct 7, 2015

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 54被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、特にループ量子重力における量子場理論の物理的内容と微分同相変換不変性を保ちつつ、射影的状態空間における可算でないラベル集合を可算で離散的な部分集合に削減する手法を提案する。『準共終列』（cofinal sequenceの一般化）を定義することで、ホロノミー・フラックス代数の離散的部分代数上の半古典的状態の体系的構成を可能にし、1次元におけるフラクタル的構造を示すラベル構造への応用および3次元時空への拡張可能性を示唆する。

ABSTRACT

Instead of formulating the state space of a quantum field theory over one big Hilbert space, it has been proposed by Kijowski [Kijowski 1977] to represent quantum states as projective families of density matrices over a collection of smaller, simpler Hilbert spaces. One can thus bypass the need to select a vacuum state for the theory, and still be provided with an explicit and constructive description of the quantum state space, at least as long as the label set indexing the projective structure is countable. Because uncountable label sets are much less practical in this context, we develop in the present article a general procedure to trim an originally uncountable label set down to countable cardinality. In particular, we investigate how to perform this tightening of the label set in a way that preserves both the physical content of the algebra of observables and its symmetries. This work is notably motivated by applications to the holonomy-flux algebra underlying Loop Quantum Gravity. Building on earlier work by Okolow [arXiv:1304.6330], a projective state space was introduced for this algebra in [arXiv:1411.3592]. However, the non-trivial structure of the holonomy-flux algebra prevents the construction of satisfactory semi-classical states. Implementing the general procedure just mentioned in the case of a one-dimensional version of this algebra, we show how a discrete subalgebra can be extracted without destroying universality nor diffeomorphism invariance. On this subalgebra, states can then be constructed whose semi-classicality is enforced step by step, starting from collective, macroscopic degrees of freedom and going down progressively toward smaller and smaller scales.

研究の動機と目的

• 可算でないラベル集合を射影的状態空間から可算な濃度に削減する一般的手順を開発すること。
• 特にバックグラウンド独立な理論（ループ量子重力など）における量子場理論において、ラベル集合を制限しても微分同相変換不変性と普遍性を保つこと。
• ホロノミー・フラックス代数の離散的部分代数上で半古典的状態を構成可能とするため、適切な可算ラベル部分集合を抽出すること。
• ホロノミー・フラックス代数の1次元玩具モデルを通じて、このアプローチの実現可能性を示すこと。
• フラクタル的構造を有するラベル構造を用いた3次元ケースへの拡張の基盤を築くこと。

提案手法

• 真の共終列が存在しない場合でも物理的完全性を保証する『準共終列』（cofinal sequenceの一般化）の概念を導入する。
• KijowskiとOkołówの射影的形式を適用し、量子状態を部分トレースで結ばれたより小さなヒルベルト空間上の密度行列の族として表現する。
• 方法の検証のため、ホロノミー・フラックス代数の1次元玩具モデルを構築し、物理的に整合性のある状態空間を可算で離散的なラベル部分集合が支えることを示す。
• 半古典的状態を、巨視的自由度から始めて微小スケールへと段階的に精錬することで体系的に構築できることを示す。
• 高次元におけるフラクタル的ラベル構造が、微分同相変換不変性を保ちつつ、問題を引き起こす退化したフラックス交換関係を回避できることを提案する。
• このような離散的でフラクタル的ラベル集合が、フラックスのアンカーパスを自然に提供し、ループ量子重力におけるガウス制約の解法に役立つ可能性があると示唆する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 射影的状態空間における可算でないラベル集合から、物理的内容や対称性を損なわず、可算ラベル部分集合を抽出できるか？
• RQ2 共終列が存在しない場合でも、準共終性の概念が、全観測量代数の物理的に適切な近似を可能にするか？
• RQ3 ホロノミー・フラックス代数の離散的部分代数上で、微分同相変換不変性を保ちつつ、半古典的状態を体系的に構築できるか？
• RQ4 1次元およびそれ以上の次元におけるフラクタル的ラベル構造は、物理的整合性を保ちつつ、非物理的フラックス交換関係を回避できるようにどのように設計できるか？
• RQ5 このような離散的ラベル集合が、ループ量子重力におけるハミルトニアン制約の正則化およびガウス制約の解法を自然に支援できるか？

主な発見

• ホロノミー・フラックス代数の1次元玩具モデルにおいて、準共終列が体系的に構成され、本手法の実現可能性が示された。
• 元のラベル集合が可算ではなく、共終列が存在しない場合でも、本手法は観測量代数の物理的内容および微分同相変換不変性を保持する。
• マクロスケールからマイクロスケールの自由度へと段階的に精錬する射影極限を通じて、半古典的状態の体系的構築が可能である。
• フラクタル的ラベル構造の使用により、物理的に不適切な交換関係を引き起こすような、エッジが表面と交差するのを禁止することで、退化したフラックス交換関係の回避が可能である。
• 離散的でフラクタル的ラベル集合は、フラックスのアンカーパスを自然に提供し、ループ量子重力におけるガウス制約の解法に潜在的に寄与する。
• 本手法により、グラフを変化させるハミルトニアン制約のもとでの半古典的状態の動的安定性への道筋が開かれる。正則化は準共終列に沿って適応可能である。