[論文レビュー] Projective planes, Severi varieties and spheres

Michael Atiyah, Jürgen Berndt|ArXiv.org|Jun 13, 2002

Mathematics and Applications参考文献 13被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、複素射影平面を複素共役で割ったものが微分同相的に4次元球面に同型であるという古典的結果を、ノルム付き除法代数である複素数、クaternion、オクタニオンの射影平面へ一般化する。$ℝ P^2/\mathrm{O}(1) \cong S^4$、$ℝ P^2/\mathrm{U}(1) \cong S^7$、$ℝ P^2/\mathrm{Sp}(1) \cong S^{13}$ という微分同相型を確立し、さらに複素化された射影平面 $P_n(C)$ を導入。これらは写像 $φ_n$ を通じて球面 $S^{d(n)}$ にファイバー束をなす。ファイバーは $S^0, S^1, S^3, S^7$ であり、対称空間やツイスター理論との深い関係が明らかになる。

ABSTRACT

A classical result asserts that the complex projective plane modulo complex conjugation is the 4-dimensional sphere. We generalize this result in two directions by considering the projective planes over the normed real division algebras and by considering the complexifications of these four projective planes.

研究の動機と目的

• 複素数体上の $\mathbb{C}P^2/\mathrm{O}(1) \cong S^4$ という古典的結果をクaternionとオクタニオンの射影平面へ一般化すること。
• ノルム付き除法代数上の実射影平面の複素化 $P_n(C)$ 及びその幾何的構造を研究すること。
• ファイバーが $S^0, S^1, S^3, S^7$ であるような明示的なファイバー束 $\varphi_n: P_n(C) \to S^{d(n)}$ を構成し、次元にわたる一様なパターンを明らかにすること。
• 方程式 $z_1^2 + \cdots + z_k^2 = 0$ で定義される超曲面 $P_n(\infty)$ が対称空間であり、双対性および対称平方構成を用いて $P_n(C)$ の全幾何を決定することを確立すること。

提案手法

• 次元 $2^n$ のノルム付き実除法代数 $A_n$（$n=0,1,2,3$ に対し $\mathbb{R}, \mathbb{C}, \mathbb{H}, \mathbb{O}$ にそれぞれ対応）上の射影平面 $P_n$ を構成し、その等長群を研究する。
• 複素代数的幾何的対象としての複素化射影平面 $P_n(C)$ を、複素次元 $2^{n+1}$ の複素代数的多様体として定義。実構造（複素共役）を備え、その固定点は $P_n$ であり、実点を持たない超曲面 $P_n(\infty)$ を導入する。
• $d(n) = 3 \cdot 2^n + 1$ に対し、写像 $\varphi_n: P_n(C) \to S^{d(n)}$ を定義。これが球面上への分岐ファイバー束であり、ファイバーは $S^0, S^1, S^3, S^7$ であり、分岐集合は $P_n$ および $P_n(\infty)$ であることを示す。
• 超曲面 $P_n(\infty)$ の幾何を用いて、対称積および双対性を介して $P_n(C)$ を再構成。$P_n(\infty)$ が複素化射影直線をパラメトライズし、$P_n(\infty) \to P_n^*$ に倣うファイバー束 $L_n(\infty)$ を持ち、その次元は $2^n - 1$ であることを示す。
• ツイスター理論および対称空間理論を適用し、$P_n(\infty)$ が同次空間 $G_n(C)/G_n$ であることを示し、$n=2,3$ の場合、ファイバーが $\mathrm{Sp}(2)/\mathrm{U}(2) \cong SO(5)/SO(3)SO(2)$ および $\mathrm{Spin}(9)/\mathrm{Spin}(7)\mathrm{U}(1)$ である部分ツイスター束であることを同定する。
• $\varphi_n$ による $P_n(\infty)$ の像が $\varphi_n(P_n)$ の反対称像であることを確立。また、$P_n(\infty)$ が反対称写像を介して $S^{d(n)}$ に埋め込まれた $P_n$ と同型であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 オクタニオン $\mathbb{O}P^2$ の射影平面を $\mathrm{Sp}(1)$ の作用で割った商の微分同相型は何か？
• RQ2 複素化射影平面 $P_n(C)$（$P_n$ の複素化）は、どのようにして球面 $S^{d(n)}$ にファイバーが $S^0, S^1, S^3, S^7$ であるファイバー束をなすか？
• RQ3 方程式 $z_1^2 + \cdots + z_k^2 = 0$ で定義される超曲面 $P_n(\infty) \subset P_n(C)$ は、$P_n(C)$ の構造を決定づける幾何的役割を果たすか？
• RQ4 複素化射影平面 $P_n(C)$ は、$P_n(\infty)$ の対称平方から再構成可能か？また、双対性およびツイスター束とどのように関係するか？
• RQ5 ファイバーが $L_n(\infty)$ である $P_n(\infty) \to P_n^*$ のファイバー束は、全ファイバー束 $\varphi_n: P_n(C) \to S^{d(n)}$ とどのように関係するか？

主な発見

• $\mathbb{C}P^2 / \mathrm{O}(1)$ は4次元球面 $S^4$ と微分同相であり、古典的結果の一般化である。
• $\mathbb{H}P^2 / \mathrm{U}(1)$ は7次元球面 $S^7$ と微分同相であり、古典的結果をクaternionへ拡張したものである。
• $\mathbb{O}P^2 / \mathrm{Sp}(1)$ は13次元球面 $S^{13}$ と微分同相であり、オクタニオンへの一般化を完了した。
• 複素化射影平面 $P_n(C)$ は、$d(n) = 3 \cdot 2^n + 1$ の球面 $S^{d(n)}$ にファイバーが $S^0, S^1, S^3, S^7$（$n=0,1,2,3$ に対応）であるファイバー束をなす。
• 方程式 $z_1^2 + \cdots + z_k^2 = 0$ で定義される超曲面 $P_n(\infty)$ は同次空間 $G_n(C)/G_n$ であり、ファイバー次元 $2^n - 1$ のファイバー束 $P_n(\infty) \to P_n^*$ を持ち、$L_n(\infty) \cong SO(2^{n+1})/SO(2^n)SO(2)$ と同型である。
• 複素化射影平面 $P_n(C)$ は同次空間と同型である：$P_1(C) \cong \mathbb{C}P^2 \times \mathbb{C}P^2$、$P_2(C) \cong \mathrm{Gr}_2(\mathbb{C}^6)$、$P_3(C) \cong E_6 / \mathrm{Spin}(10)\mathrm{U}(1)$ であり、$P_n(\infty)$ は同じ群の対称空間である。