[論文レビュー] Projective rational manifolds with non-finitely generated discrete automorphism group and infinitely many real forms

Tien‐Cuong Dinh, Keiji Oguiso+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 1, 2020

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 8被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、n ≥ 3 に対して、任意の n に対して、滑らかで複素数係数の射影的有理的代数多様体を、離散的でかつ有限生成でない自己同型群をもち、無限個の互いに同型でない実構造をもつものとして構成する。この構成は、Lesieutre よりも、Dinh–Oguiso の手法を応用し、高次元有理的幾何における自己同型群および実構造の構造について長年の未解決問題を解決する。

ABSTRACT

We show, among other things, that for each integer $n \ge 3$, there is a smooth complex projective rational variety of dimension $n$, with discrete non-finitely generated automorphism group and with infinitely many mutually non-isomorphic real forms. Our result is inspired by the work of Lesieutre and the work of Dinh and Oguiso.

研究の動機と目的

• 次元 n ≥ 3 の滑らかな複素数係数射影的有理的多様体で、離散的かつ有限生成でない自己同型群をもつものを作成すること。
• このような多様体に対して、実数体上において無限個の互いに同型でない実構造が存在することを確立すること。
• Lesieutre よりも、Dinh–Oguiso の手法を拡張・応用し、これらの幾何的構造を実現すること。
• 高次元有理的多様体における自己同型群および実構造の有限性と構造に関する未解決問題に取り組むこと。

提案手法

• 次元 n ≥ 3 の有理的多様体の明示的例を構成するために、有理型幾何の技法を用いる。
• 自己同型の力学およびクレモナ群の構造に関する結果を適用し、自己同型群が離散的かつ有限生成ではないことを保証する。
• 代数幾何における実構造の理論を活用し、同一の複素多様体上に無限個の同型でない実構造が存在することを示す。
• 吹き上げの幾何および等変コンパクト化を用いて、自己同型群の振る舞いを制御する。
• 特定の不変除環や有理曲線の存在を用いて、自己同型群の有限生成性を妨げる。
• 複素代数幾何と算術幾何の結果を組み合わせ、実数体上での実構造を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次元 n ≥ 3 の滑らかな複素数係数射影的有理的多様体が、離散的でかつ有限生成でない自己同型群をもてるか？
• RQ2 このような多様体は、実数体上において無限個の互いに同型でない実構造をもつか？
• RQ3 有理的多様体の自己同型群が有限生成でないことを保証する幾何的条件は何か？
• RQ4 有理型幾何における既知の結果を用いて、このような多様体を体系的に構成する方法は何か？
• RQ5 実構造は、有理的多様体の自己同型群のグローバル構造において果たす役割は何か？

主な発見

• 任意の整数 n ≥ 3 に対して、次元 n の滑らかな複素数係数射影的有理的多様体が存在し、その自己同型群は離散的でかつ有限生成ではない。
• 構成された多様体は、実数体上において無限個の互いに同型でない実構造をもつ。
• 各多様体の自己同型群は離散的であり、正次元の代数的部分群をもたない。
• 自己同型群の有限生成性の欠如は、多様体を保存する無限個の独立な被約的変換の存在に起因する。
• 無限個の実構造の存在は、同一の複素多様体上に同型でない実構造を構成することで確立される。
• 本研究の結果は、Lesieutre よりも、Dinh–Oguiso が低次元で得た自己同型群および実構造に関する先行結果を拡張・一般化する。