[論文レビュー] Projective reflection groups

Fabrizio Caselli|ArXiv.org|Feb 4, 2009

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、複素反射群の一般化として射影的反射群を導入し、古典的設定を超えて組合せ論と表現論を拡張する。群 $G = G(r,p,q,n)$ とその双対群 $G^* = G(r,q,p,n)$ の間に双対性を確立し、ガロア自己同型によるねじれ付き対角不変量のヒルベルト級数が降下表現によって支配され、双対群の非可約表現を含む生成関数によって特徴づけられることを示す。

ABSTRACT

We introduce the class of projective reflection groups which includes all complex reflection groups. We show that several aspects involving the combinatorics and the representation theory of all non exceptional irreducible complex reflection groups find a natural description in this wider setting.

研究の動機と目的

• 例外的およびワループ積のケースを超えて、複素反射群の組合せ論と表現論を拡張すること。
• 不変式論と対称冪を用いて、新たな群のクラス—射影的反射群—を定義し、その性質を調査すること。
• $G(r,p,q,n)$ と $G^* = G(r,q,p,n)$ の間の双対性を、ワループ積の既知の結果を一般化する形で確立すること。
• バーチェロ、レインァー、スターリングが提起した、ガロア自己同型によるねじれ付き対角不変量モジュールのヒルベルト級数に関する問題を解くこと。
• ロビンソン＝シェンステッド対応を射影的反射群へ意味的に拡張し、降下表現と関連付けること。

提案手法

• 複素反射群 $W$ が $q$ 乗単位行列を含むとき、$W/C_q$ を射影的反射群として定義する。
• $G$ が $S^q(V)$ に作用することにより、$S_q[V^*]$（同次多項式環）に自然な作用を誘導し、その不変量を研究する。
• $G(r,p,q,n)$ の余不変代数を定義し、標準ヤング盤と分割の組合せ論的データを用いて単項式基底を構成する。
• 余不変代数の分解を通じて降下表現を定義し、$\Delta^\sigma G$（ガロア自己同型のグラフ）による作用の下での対角不変量を解析する。
• 特性理論と内積を用いて、対角不変量のヒルベルト級数を計算し、$G$ の非可約表現の和として表現する。
• $G$ と $G^*$ の双対性を活用し、ヒルベルト級数を $G^*$-表現の言葉で表現し、精練された生成関数に至る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非ワループ積の複素反射群の組合せ論と表現論は、$G(r,n)$ やワイル群の既知の結果を超えて、どのように一般化できるか？
• RQ2 $G(r,p,q,n)$ の対角不変量の構造は、ガロア自己同型 $\sigma$ の作用のもとでどのように現れるか？
• RQ3 $G(r,p,q,n)$ と $G^* = G(r,q,p,n)$ の間の双対性は、対角不変量のヒルベルト級数にどのように現れるか？
• RQ4 ロビンソン＝シェンステッド対応は、射影的反射群へ意味的に拡張可能か？また、ヒルベルト級数の計算におけるその役割は何か？
• RQ5 $S_q[X_1,X_2]^{G\times G}$ の $\Delta^\sigma G$-不変部分代数のヒルベルト級数の生成関数の明確な形は何か？

主な発見

• 代数 $S_q[X_1,X_2]^{G\times G}$ の $\Delta^\sigma G$-不変部分代数のヒルベルト級数は、$G^\sigma(Y_1,Y_2) = \sum_{\phi \in \mathrm{Irr}(G)} f^{\sigma\phi}(Y_1) f^{\bar{\phi}}(Y_2)$ で与えられる。ここで $f^\phi$ は非可約表現の生成関数である。
• この結果は、$G^\sigma(Y_1,Y_2) = \sum_{g \in G^*} Y_1^{\lambda(g^\sigma)} Y_2^{\lambda(g^{-1})}$ を示すことで精錬され、生成関数が双対群 $G^*$ と明示的に関連付けられる。
• 精錬されていないバージョンのヒルベルト級数 $G^\sigma(y_1,y_2) = \sum_{g \in G^*} y_1^{\mathrm{fmaj}(g^\sigma)} y_2^{\mathrm{fmaj}(g^{-1})}$ は、BRSの質問6.3に答えている。
• 射影的反射群 $G(r,p,q,n)$ の降下表現は、余不変代数の分解と対角不変量の計算に中心的な役割を果たすことが示された。
• 標準ヤング盤と分割のデータを用いて、$G(r,p,q,n)$ の余不変代数の単項式基底が構成された。
• 双対性 $G \leftrightarrow G^*$ は中心的であることが示された：$G^*$ の表現論が、$G$ のガロアねじれ付き対角不変量の構造を支配する。