[論文レビュー] Projective relations for m-th root metric spaces

Nicoleta Brinzei|ArXiv.org|Nov 29, 2007

Advanced Differential Geometry Research参考文献 4被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、m次根Finsler計量空間がリーマン、Berwald、またはLandsberg空間と射影的平坦または射影的に関連するための必要十分条件を確立する。そのために、幾何的対象の計算を簡略化するための多項式フラッグ計量 $ h_{ij} = a_{ij0\dots0} $ を導入する。主な貢献は、多項式係数の一致を用いた射影的平坦性およびリーマン射影的性の特徴付けであり、これによりこのようなFinsler空間の明示的分類が可能になる。

ABSTRACT

For Finsler spaces (M,F) endowed with m-th root metrics, we provide necessary and sufficient conditions in which they are projectively flat, or projectively related to Berwald/Riemann spaces. We also give a specific characterization for m-th root metrics spaces of Landsberg and of Berwald type.

研究の動機と目的

• m次根Finsler空間がリーマン、Berwald、またはLandsberg空間と射影的平坦または射影的に関連するための必要十分条件を特定すること。
• m次根計量空間における幾何的対象（測地線、接続、曲率）の解析を簡略化するために、明示的なm次根を避けるための多項式フラッグ計量 $ h_{ij} $ を導入すること。
• m次根計量がリーマンまたはBerwald空間と射影的に同値であるクラスを系統立てて同定するための方法を提供すること。
• 多項式斉次性および共変微分の恒等式を用いて、射影的関係および平坦性のための係数 $ a_{i_1\dots i_m}(x) $ に対する明示的な代数的条件を導出すること。

提案手法

• 本稿では、標準Finsler計量やShimadaの $ a_{ij} $ の代わりに、幾何的計算を簡略化するための非退化的かつ斉次な多項式 $ y^i $ としての多項式フラッグ計量 $ h_{ij} = a_{ij0\dots0} $ を基本テンソルとして用いる。
• 測地線方程式および非線形・線形接続（例：Berwald接続）は $ h_{ij} $ を用いて再定式化され、多項式恒等式を介して曲率および射影的不変量の導出が可能になる。
• Rapcsakの定理とリーマン射影的性の条件 $ mT(T_{;i} - T_{;r\cdot i}y^r) = (1-m)T_{;r}T_i y^r $ を適用し、$ T = F^m $ として、係数 $ a_{i_1\dots i_m}(x) $ における多項式方程式系に還元する。
• 形 $ \bar{T} = \alpha(x,y)T $ の射影変換に対して、変換が射影的平坦またはリーマン射影的空間をもたらすための条件 $ \alpha_{;i} - \alpha_{;r\cdot i}y^r = \frac{1}{m}\frac{T_i}{T}\alpha_{;0} + \frac{1-m}{m}\frac{\alpha_i}{\alpha}\alpha_{;0} $ を導出する。
• この手法は、$ y^i $ における次数 $ 2m $ の斉次多項式の係数を特定することに依存し、接続係数 $ \Gamma_{jk}^i $ に対する線形系の導出を可能にする。この線形系は、線形接続の標準的変換則を満たす必要がある。
• 逆計量 $ h^{ij} $ は、公式 $ h^{ij} = \frac{1}{F^{m-2}}\{(m-1)g^{ij} - (m-2)l^i l^j\} $ を用いて計算され、多項式計量と標準Finsler計量を結びつけ、非退化性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 m次根計量空間が射影的平坦（すなわち、直線的測地線をもつ）であるための条件は何か？
• RQ2 m次根計量空間の測地線がリーマン空間の測地線と射影的に同値であるのはいつか？
• RQ3 m次根計量空間がLandsbergまたはBerwald型であるための必要十分条件は何か。また、これらは多項式フラッグ計量 $ h_{ij} $ を用いてどのように表現できるか？
• RQ4 形 $ \bar{T} = \alpha(x,y)T $ の射影変換は、どのような特徴を有すれば、変換後の空間が射影的平坦またはリーマン射影的になるか？
• RQ5 係数 $ a_{i_1\dots i_m}(x) $ にどのような代数的条件が満たされると、m次根計量空間がBerwaldまたはリーマン空間と射影的に関連するか？

主な発見

• m次根計量空間が射影的平坦であるための必要十分条件は、係数 $ a_{i_1\dots i_m}(x) $ が多項式恒等式における係数一致に帰着される条件 $ mT(T_{;i} - T_{;r\cdot i}y^r) = (1-m)T_{;r}T_i y^r $ を満たすことである。
• 空間がリーマン射影的であるための必要十分条件は、関係式 $ a_{j_1\dots j_m}\gamma_{i~{}i_1\dots i_m} - \frac{1}{m}a_{ij_2\dots j_m}\cdot a_{i_1\dots i_m~{},~{}j_1} = \Gamma_{i_1 j_1}^j\{ -a_{ii_2\dots i_m}a_{jj_2\dots j_m} + a_{iji_3\dots i_m}a_{i_1 i_2 j_3\dots j_m} \} $ を満たす関数 $ \Gamma_{jk}^i(x) $ が存在することであり、座標変換のもとで適切な変換則を満たす必要がある。
• 変換 $ \bar{T} = \alpha(x,y)T $ に対して、$ \alpha_{;i} = 0 $ がリーマン計量 $ \gamma $ の標準接続に関して成り立ち、$ \bar{T} = \alpha \gamma $ であれば、$ \gamma $ が射影的平坦であれば、変換後の空間は射影的平坦なm次根計量空間になる。
• 空間がBerwald型であるための必要十分条件は、$ h_{ij} $ の標準計量的接続に関して $ h_{ijk|l} = 0 $ であることであり、Landsberg型であるための必要十分条件はBerwald接続が $ h $-計量的であることである。
• 標準Finsler計量が非退化的かつ正定値であれば、多項式フラッグ計量 $ h_{ij} $ も非退化的かつ正定値であり、その逆計量は $ h^{ij} = \frac{1}{F^{m-2}}\{(m-1)g^{ij} - (m-2)l^i l^j\} $ として明示的に与えられる。これにより一貫性のある幾何的計算が可能になる。
• 本稿では、多項式斉次性および共変微分の恒等式を用いて、係数 $ a_{i_1\dots i_m}(x) $ における線形系に還元することで、m次根計量が射影的平坦またはリーマン射影的であることを完全に特徴づける。明示的な条件が導出されている。