[論文レビュー] Projective structures on a Riemann surface

Indranil Biswas, A.K. Raina|ArXiv.org|Jul 24, 1996

Geometry and complex manifolds参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

本論文は、種数 $g$ のコンpakトなリーマン面 $X$ 上の射影構造と、特定のラインバンドル $L = K_{X\times X} \bigotimes \mathcal{O}_{X\times X}(2\Delta)$ の $3\Delta$ 上での自明化の間の標準的同一視を確立する。この同一視は、$2\Delta$ 上での標準的自明化と整合性を持つものである。主な貢献は、対角線上の高階接線データを通じた射影構造の幾何的特徴付けであり、スガワラ形式を通じて代数幾何学と conformal field theory（共形場理論）を結ぶ。

ABSTRACT

For a compact Riemann surface $X$ of any genus $g$, let $L$denote the line bundle $K_{X imes X}\otimes {\cal O}_{X imes X}(2Δ)$ on $X imes X$, where $K_{X imes X}$ is the canonical bundle of $X imes X$ and $Δ$ is the diagonal divisor. We show that $L$ has a canonical trivialisation over the nonreduced divisor $2Δ$. Our main result is that the space of projective structures on $X$ is canonically identified with the space of all trivialisations of $L$ over $3Δ$ which restrict to the canonical trivialisation of $L$ over $2Δ$ mentioned above. We give a direct identification of this definition of a projective structure with a definition of Deligne.We also describe briefly the origin of this work in the study of the so-called "Sugawara form" of the energy-momentum tensor in a conformal quantum field theory.

研究の動機と目的

• コンパクトなリーマン面における射影構造を、高階接線データを用いて幾何学的に特徴づけること。
• 射影構造とラインバンドル $L$ の $3\Delta$ 上での自明化の間の標準的同一視を、$2\Delta$ 上での自明化と整合性を持つように確立すること。
• この幾何的構成を共形量子場理論におけるスガワラ形式と結びつけること。
• 接線理論的データを用いて、射影構造の空間を代数幾何学におけるモジュライ問題として形式化すること。

提案手法

• ラインバンドル $L = K_{X\times X} \otimes \mathcal{O}_{X\times X}(2\Delta)$ を $X \times X$ 上に定義する。ここで $K_{X\times X}$ は標準バンドルであり、$\Delta$ は対角除数である。
• 接線理論的手法を用いて、非還元的除数 $2\Delta$ 上での $L$ の標準的自明化を構成する。
• $2\Delta$ 上での標準的自明化に制限される $3\Delta$ 上での $L$ の自明化として、射影構造を特徴づける。
• 無限小近傍とラインバンドルの自明化の理論を用いて、射影構造を代数的に符号化する。
• この幾何的定義と、射影接続を用いた標準的定義との間の同倣を確立する。
• 対角線と接線バンドルの幾何学を通じて、この構成を共形場理論におけるスガワラ形式と関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リーマン面上の射影構造は、対角線上の高階接線データを用いてどのように標準的に特徴づけられるか？
• RQ2 ラインバンドル $L = K_{X\times X} \otimes \mathcal{O}_{X\times X}(2\Delta)$ は、どのようにして射影構造を符号化するか？
• RQ3 $2\Delta$ 上での $L$ の標準的自明化は、射影構造の分類の自然な基盤として果たす役割は何か？
• RQ4 この幾何的構成は、共形場理論におけるスガワラ形式とどのような関係にあるか？
• RQ5 射影構造の空間は、$2\Delta$ 上での固定自明化と整合する $3\Delta$ 上での自明化のモジュライ空間として完全に記述可能か？

主な発見

• コンパクトなリーマン面 $X$ 上の射影構造の空間は、$2\Delta$ 上での標準的自明化に制限される $L = K_{X\times X} \otimes \mathcal{O}_{X\times X}(2\Delta)$ の $3\Delta$ 上での自明化の空間と、標準的に同一視される。
• $2\Delta$ 上での $L$ の標準的自明化は、対角除数上の接線理論的手法を用いて構成される。
• この同一視により、リーマン面そのものとその積構造に内在する、新しい幾何的定義が得られる。
• この構成により、接線理論的定義と古典的定義（射影接続を用いるもの）との直接的な同倣が確立される。
• この研究は、$L$ の幾何学とその無限小近傍上の自明化を通じて、共形場理論におけるスガワラ形式の幾何的解釈を提供する。
• この結果は、$g$ の値にかかわらず、任意の種数 $g$ のコンパクトなリーマン面に対して成り立つ。これにより、構成の普遍性が示される。