[論文レビュー] Projective Tensor Products of $C^*$-algebras

Ajay Kumar, Vandana Rajpal|arXiv (Cornell University)|May 3, 2013

Advanced Operator Algebra Research参考文献 17被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、C*-代数の射影的テンソル積を調査し、$A^{**} \otimes_{\gamma} B^{**}$ から $(A \otimes_{\gamma} B)^{**}$ への標準埋め込みの二重連続性と同型性に注目する。これにより、作用素ノルムの上界が $\frac{1}{2}\|u\|_{\gamma} \leq \|\theta(u)\| \leq \|u\|_{\gamma}$ に改善された。さらに、一方のC*-代数が有限個の閉イデアルしか持たない場合、$A \widehat{\otimes} B$ の任意の閉イデアルが有限個の積イデアルの和として表され、特定の条件下で $V \otimes_h W$ に外部自己同型が存在することを示している。

ABSTRACT

For $C^*$-algebras $A$ and $B$, we study the bi-continuity of the canonical embedding of $A^{**}\ot_γ B^{**}$ ($A^{**}\hat{\ot} B^{**}$) into $(A \ot_γ B)^{**}$ (resp. $(A \hat{\ot} B)^{**}$), and its isomorphism. Ideal structure of $A\hat{\ot} B$ has been obtained in case $A$ or $B$ has only finitely many closed ideals.

研究の動機と目的

• C*-代数 $A$ と $B$ に対して、$A^{**} \otimes_{\gamma} B^{**} \to (A \otimes_{\gamma} B)^{**}$ への標準埋め込みの二重連続性と同型性を分析すること。
• 一方の代数が有限個の閉イデアルしか持たない場合の、作用素空間射影的テンソル積 $A \widehat{\otimes} B$ のイデアル構造を特徴付けること。
• C*-代数および正確な作用素代数に対して、$A \otimes_h B$ および $A \widehat{\otimes} B$ における外部自己同型の存在を調査すること。
• スライス写像のスペクトル的性質および準同型的性質をハーガープテンソル積の文脈へ拡張すること。

提案手法

• バナッハ空間の射影的テンソルノルムと単射的テンソルノルムの双対性を用いて、改善された定数を伴う標準埋め込みの二重連続性を再導出する。
• 非可換グロテンディーク定理および最近の jointly completely bounded 双線形形式に関する結果を用いて、作用素空間射影的テンソル積を分析する。
• スライス写像と純状態を用いて、$A \otimes_h B$ におけるスペクトル的性質を因子代数におけるそれと関連付ける。
• ハーガープノルムおよびその性質を用いて、特にスライス写像のモジュール的性質を通じて、$V \otimes_h W$ における自己同型を研究する。
• コロナリー4.5および命題4.4を適用して、ハーガープ設定におけるテンソル写像の単射性と全射性を示す。
• 相対的可換束 $V \otimes_h Z(W)$ および内部自己同型の構造を用いて、$\Phi$ が外部的であるとき、$V \otimes_h W$ に外部自己同型が存在することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準埋め込み $A^{**} \otimes_{\gamma} B^{**} \to (A \otimes_{\gamma} B)^{**}$ が同型となる条件は何か？
• RQ2 標準写像 $\theta$ に対して、不等式 $\frac{1}{2}\|u\|_{\gamma} \leq \|\theta(u)\| \leq \|u\|_{\gamma}$ の最適定数は何か？
• RQ3 $A \widehat{\otimes} B$ のすべての閉イデアルが積イデアルの有限和として分解されるのはいつか？
• RQ4 $V$ が完全に収縮的外部自己同型を持ち、$W$ が $*$-還元的であるとき、$V \otimes_h W$ における外部自己同型の存在を保証できるか？
• RQ5 スライス写像を通じて、$A \otimes_h B$ の要素のスペクトル的性質は因子代数におけるそれとどのように関係するか？

主な発見

• 標準写像 $\theta: A \otimes_{\gamma} B \to (A^* \otimes_{\lambda} B^*)^*$ は、$\frac{1}{2}\|u\|_{\gamma} \leq \|\theta(u)\| \leq \|u\|_{\gamma}$ を満たし、以前の上界を改善し、二重連続性を証明する。
• $A$ または $B$ が有限個の閉イデアルしか持たない場合、$A \widehat{\otimes} B$ の任意の閉イデアルは有限個の積イデアルの和として表され、これは最小テンソル積では成り立たない。
• 単位的作用素代数 $V$ と $W$ に対して、$W$ が $*$-還元的で、$V$ が完全に収縮的外部自己同型 $\Phi$ を持つとき、$V \otimes_h W$ 上の写像 $\mu(x) = \Phi(a_i) \otimes b_i$ は完全に収縮的外部自己同型である。
• 作用素 $A$ が単位的可換 $*$-還元的バナッハ $*$-代数で、$\phi$ が純状態であるとき、スライス写像 $R_\phi: A \otimes_h B \to B$ は代数準同型である。
• すべての $x \in A \otimes_h B$ に対して $\sigma(ux) = \sigma(vx)$ が成り立つならば、単位的可換 $*$-還元的 $A$ と単位的 $B$ に対して、$A \otimes_h B$ 内で $u = v$ が成り立つ。これはスライス写像によるスペクトルの等価性のおかげである。
• $\phi$ と $\psi$ がそれぞれ $V$ と $W$ の自己同型であるとき、写像 $\phi \otimes_h \psi$ は $V \otimes_h W$ からそれ自身への同型であり、ハーガープテンソル積において単射的かつ全射的である。