[論文レビュー] Projectively Equivariant Quantization Map

Sofiane Bouarroudj|arXiv (Cornell University)|Mar 9, 2000

Advanced Operator Algebra Research参考文献 2被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、接空間に affine 接続を備えた多様体上の 2 階多項式記号から 2 階線形微分作用素への射影的同値な量子化写像を構成する。この写像は特定の接続に依存せず、その射影的類にのみ依存し、定数が明示的に決定された上での一意性を持つ。写像は射影群 SL_{n+1} の作用に関して同値であり、平坦な射影的構造や共形構造に対する以前の結果を一般化する。

ABSTRACT

Let M be a manifold endowed with a symmetric affine connection $Γ.$ The aim of this paper is to describe a quantization map between the space of second-order polynomials on the cotangent bundle T^{*} M and the space of second-order linear differential operators, both viewed as modules over the group of diffeomorphisms and the Lie algebra of vector fields on M. This map is an isomorphism, for almost all values of certain constants, and it depend only on the projective class of the affine connection $Γ.$

研究の動機と目的

• 2 階多項式記号（余接 bundle 上）と 2 階線形微分作用素との間の量子化写像を、affine 接続の射影的類に関して不変となるように構成すること。
• 平坦な射影的構造を備えた多様体上で、射影群 SL_{n+1}（またはそのリー代数 sl_{n+1}）の作用に関して同値となるように保証すること。
• このような量子化写像が存在し、特にモジュール同型が一意でない可能性がある共鳴状態（resonant cases）において、それが一意に定まるための明確な条件を同定すること。
• 共形構造および射影的構造に関する以前の結果を一般化し、写像が接続そのものではなく、その射影的類にのみ依存することを示すこと。

提案手法

• δ = μ − λ とおくとき、δ-密度値をとる余接 bundle 上の多項式としての記号空間と、λ-密度からμ-密度への線形写像としての微分作用素空間を定義する。
• 微分作用素の主記号を保存し、微分同相写像およびベクトル場の作用に関して同値である線形同型写像として、量子化写像 Q_{λ,μ} を構成する。
• affine 接続 Γ に付随する共変微分を用いて、局所座標で微分作用素を表現し、接続係数およびその微分を含む項を組み込む。
• 対称反変テンソル T^{ij} および接続 Γ を用いて、量子化写像の 2 階、1 階、0 階部分の明示的公式を導出する。
• 射影的同値な接続 Γ̃ における量子化写像の変換を計算し、写像が不変となる条件を導出する。
• 得られた連立方程式を解き、射影的不変性を保証する定数 β₁, β₂, β₃ を決定し、δ = μ − λ および n = dim M を用いて明示的な式を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 SL_{n+1} の作用に関して同値となるような、2 階記号から 2 階微分作用素への量子化写像が存在する条件は何か？
• RQ2 量子化写像は接続の選択にどのように依存するか。接続そのものではなく、その射影的類にのみ依存させることは可能か？
• RQ3 射影的不変性を保証するための、量子化写像における係数 β₁, β₂, β₃ の明示的公式は何か？
• RQ4 δ = μ − λ（共鳴状態）のどのような値に対して、同型写像が一意に定まらないか。そのような状況はどのように特徴づけられるか？
• RQ5 この構成を高階微分作用素へ拡張することは可能か。その際、どのような構造的障害が生じるか？

主な発見

• 量子化写像 Q_{λ,μ}^{2} が射影的不変であるための必要十分条件は、定数 β₁, β₂, β₃ が式 (5.3) に示される明示的公式で与えられることであり、これは δ = μ − λ および次元 n に依存する。
• ℝⁿ 上の平坦な射影的構造に対して、構成された写像は SL_{n+1} 及びそのリー代数 sl_{n+1} の作用に関して同値であり、共形構造や射影的構造に関する以前の結果を一般化する。
• 共鳴状態 δ = (n+2)/(n+1) および δ = (n+3)/(n+1) に対しても同型写像は存在するが、δ = (n+3)/(n+1) の場合には解が一意ではなく、β₂ は任意にとれる。
• 写像は接続の射影的類にのみ依存し、特定の代表元 Γ には依存しない。
• 0 階部分には、曲率に類似した項 ∂ₖΓᵢⱼᵏ、ΓᵢⱼᵏΓₖ、および ΓᵢΓⱼ が含まれており、接続の幾何的性質に非自明に依存していることが示される。
• 射影的変換の下での不変性の証明は、射影的同値な接続における写像の変化を計算し、補正項が定数 β₁, β₂, β₃ が (5.3) の条件を満たすとき、正確に消えることによって行われる。