[論文レビュー] Projectively flat general $(\alpha,\beta)$-metrics with constant flag curvature

Changtao Yu, Hongmei Zhu|arXiv (Cornell University)|Feb 5, 2015

Advanced Differential Geometry Research参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、特定の幾何的条件下で、定数フラッグ曲率をもつ射影的に平坦な一般化 (α, β)-計量を分類し、曲率値 K = 1, 0, −1 に対してその明示的な族を導出する。α が定数断面曲率をもち、β が α に対して共形的であると仮定することで、新たな特異 Finsler 計量を構成するための主要な PDE システムを解き、F = (bα + β)²/α という単純な形をとる計量を含む、局所的に射影的に平坦で定数フラッグ曲率をもつ計量を構成する。

ABSTRACT

In this paper we study the flag curvature of a particular class of Finsler metrics called general $(\alpha,\beta)$-metrics, which are defined by a Riemannian metric $\alpha$ and a $1$-form $\beta$. The classification of such metrics with constant flag curvature are completely determined under some suitable conditions, which make them be locally projectively flat. As a result, we construct some new projectively flat Finsler metrics with flag curvature $1$, $0$ and $-1$, all of which are of singularity at some directions.

研究の動機と目的

• 局所的射影的平坦性を保証する条件下で、定数フラッグ曲率をもつ一般化 (α, β)-計量を分類すること。
• ランダース計量やスクエア計量に関する既知の結果を、より広い Finsler 計量のクラスへと拡張すること。
• 射影的に平坦で定数フラッグ曲率 K = 1, 0, −1 をもつ Finsler 計量の明示的例を構成すること。
• 射影的平坦性の下で、定数フラッグ曲率をもつための α, β, および φ(b², s) の必要十分条件を特定すること。
• 共形的および曲率的条件が、Einstein 計量および定数曲率 Finsler 計量を生成する役割を解明すること。

提案手法

• α が定数断面曲率をもつこと（αRᵢⱼ = μ(α²δᵢⱼ − yᵢyⱼ)）と仮定し、β が α に対して共形的であること（bᵢ|ⱼ = (κ − μb²)aᵢⱼ）を仮定する。
• 一般化 (α, β)-計量 F = αφ(b², β/α) を定義する関数 φ(b², s) に対して、PDE 条件 φ₂₂ = 2(φ₁ − sφ₁₂) を課す。
• 射影的に平坦な (α, β)-計量の分類を、PDE 条件と曲率制約を用いて行う。
• 補題 3.1 を適用し、共形係数 c(x) が c² = κ − μb² を満たす必要があることを示す。
• 曲率仮定（K = 1, 0, −1）の下で、補助関数 p(u), q(u), τ を用いて φ(b², s) のための ODE システムを解く。
• φ(b², s) の明示的解を構成し、それに対応する Finsler 計量を閉形式で導出する。これには F = (bα + β)²/α も含まれる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化 (α, β)-計量が局所的に射影的に平坦で定数フラッグ曲率をもつための α, β, および φ(b², s) の必要十分条件は何か？
• RQ2 射影的に平坦なクラスの外で、ランダース型でない一般化 (α, β)-計量が定数フラッグ曲率をもつことは可能か？
• RQ3 曲率条件 αRᵢⱼ = μ(α²δᵢⱼ − yᵢyⱼ) および bᵢ|ⱼ = (κ − μb²)aᵢⱼ が φ(b², s) の形にどのように制約を加えるか？
• RQ4 これらの仮定の下で、定数フラッグ曲率 K = 1, 0, −1 をもつ Finsler 計量の明示的族をどのように構成できるか？
• RQ5 計量 F = (bα + β)²/α は、このような射影的に平坦で定数フラッグ曲率をもつ Finsler 計量の代表例であるか？

主な発見

• すべての射影的に平坦な一般化 (α, β)-計量で定数フラッグ曲率 K = 1, 0, −1 をもつものは、曲率および共形的条件の下で PDE φ₂₂ = 2(φ₁ − sφ₁₂) の解から生じる。
• 最も単純な計量は F = (bα + β)²/α であり、b = ∥β∥ₐ とすると、定数フラッグ曲率 K = 1 をもつ。
• K = 0 の場合、F = √(b²α² − β²)/b² という例が構成され、これは符号数 (n−1, 0) の正定値半定値 Riemann 計量である。
• K = −1 の場合、複数の解が得られ、F = (b + s)²/2(1 + c₁b(b + s) + c₂√(1 + c₁(b² − s²)))（c₁, c₂ = ±1）を含む。
• K = 1 の場合、√(1 + (b² − s²)² − 1) を含む複雑な解が導出され、フラッグ曲率 K = 1 をもつ計量が得られる。
• 構成されたすべての計量は、特定の条件下で分母や平方根がゼロになるため、ある方向では特異的である。