[論文レビュー] Projectors on the intermediate algebraic Jacobians

Charles Vial|arXiv (Cornell University)|Jul 21, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 21被引用数 39

ひとこと要約

本稿では、滑らかで投影的な多様体のチャウ群において、曲線によって生成されるコhomologyの部分に射影する正規直交な冪等対応を構成し、ムーレのアーベルおよびピカード射影子を一般化する。主な結果は、ゼロサイクルのチャウ群が曲線に支持される多様体—例えば有理的接続性を持つ4次元多様体—が、モチーフ的リーマン予想を満たし、自己双対なチャウ・クンネンス分解を有することである。

ABSTRACT

Let $X$ be a complex smooth projective variety of dimension $d$. Under some assumption on the cohomology of $X$, we construct mutually orthogonal idempotents in $CH_d(X imes X) \otimes \Q$ whose action on algebraically trivial cycles coincides with the Abel-Jacobi map. Such a construction generalizes Murre's construction of the Albanese and Picard idempotents and makes it possible to give new examples of varieties admitting a self-dual Chow-Künneth decomposition satisfying the motivic Lefschetz conjecture as well as new examples of varieties having a Kimura finite dimensional Chow motive. For instance, we prove that fourfolds with Chow group of zero-cycles supported on a curve (e.g. rationally connected fourfolds) have a self-dual Chow-Künneth decomposition which satisfies the motivic Lefschetz conjecture and consequently Grothendieck's standard conjectures. We also prove that hypersurfaces of very low degree are Kimura finite dimensional.

研究の動機と目的

• ムーレのアーベルおよびピカード射影子の構成を、$H_1$ や $H_{2d-1}$ を超える高次の奇数コhomology次数へ一般化すること。
• チャウ群 $CH_d(X \times X) \otimes \mathbb{Q}$ 内の正規直交な冪等対応 $\Pi_{2i,i}$ を構成し、$H_{2i+1}(X)$ の曲線によって生成される部分ホッジ構造に射影する。
• 自己双対なチャウ・クンネンス分解がモチーフ的リーマン予想を満たすような多様体が満たすべき条件を確立すること。
• ゼロサイクルのチャウ群が曲線に支持される多様体が、キムラの意味で有限次元チャウモチーフを有することを証明すること。

提案手法

• $N^i H_{2i+1}(X)$ を、$H_1(C)$ の対応 $\Gamma \in CH_{i+1}(C \times X)$ を通じた押し出しによって生成される $H_{2i+1}(X)$ の部分群として定義する。
• $N^{\lfloor(2d-i)/2\rfloor}H_{2d-i}(X)$ と $N^{\lfloor i/2\rfloor}H_i(X)$ 間のカップ積ペアリングの非退化性を仮定し、射影子の存在を保証する。
• $CH_d(X \times X) \otimes \mathbb{Q}$ 内の冪等対応 $\Pi_{2i,i}$ を、双対性を用いて $N^i H_{2i}(X)$ および $N^i H_{2i+1}(X)$ に射影する形で構成する。
• ジャンネンの半単純性定理と数値同値から有理同値への持ち上げを用い、有理同値の下で射影子を構成する。
• 対角の一般化された分解を適用し、代数的サイクルに関する仮定の下で $H_i(X) = N^{\lfloor i/2\rfloor}H_i(X)$ が成り立つことを示す。
• リーマンの $(1,1)$-定理とホッジコhomologyの消失を用い、ホッジ類が代数的であることを保証し、CK分解の構成を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ムーレの冪等射影子は、$H_1$ や $H_{2d-1}$ を超える中間コhomology次数へ一般化可能か？
• RQ2 どのようなコhomology的条件下で、多様体がモチーフ的リーマン予想を満たす自己双対なチャウ・クンネンス分解を有するか？
• RQ3 ゼロサイクルのチャウ群が曲線に支持される多様体が、キムラの意味で有限次元チャウモチーフを有するのはいつか？
• RQ4 有理的接続性を持つ4次元多様体および低次元超曲面に対して、標準予想をどのように確立できるか？
• RQ5 どのような条件下で、多様体のコhomologyが対応を通じて曲線のコhomologyによって生成されるか？

主な発見

• ゼロサイクルのチャウ群が曲線に支持される4次元多様体—例えば有理的接続性を持つ4次元多様体—は、モチーフ的リーマン予想を満たす自己双対なチャウ・クンネンス分解を有する。
• このような4次元多様体は、自己双対なCK分解の存在に起因して、グロタンディークの標準予想を満たす。
• 非常に低次の超曲面、例えば立方体5次元多様体や二次式と立方体の交わり—これらはキムラの意味で有限次元チャウモチーフを有することが示された。
• 奇数次元多様体で $H^{n+1}(X, \Omega_X^{n-1})$ が消える場合、下位のチャウ群が表現可能であれば、その多様体はCK分解を有し、モチーフ的リーマン予想を満たす。
• 奇数次元多様体のCK分解における冪等 $\Pi_d$ は、$\dim Z = n+2$ である $X \times Z$ 上に支持されるサイクルとして表現可能である。
• 有限次元モチーフを有する多様体上の滑らかな曲線の吹き上げは、有限次元性を保ち、このような多様体の積も有限次元モチーフを有する。