[論文レビュー] Prolongations of Lie algebras and applications

Paul-Andi Nagy|arXiv (Cornell University)|Dec 10, 2007

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 24被引用数 30

ひとこと要約

本稿は、ユークリッド空間上に作用する直交的リー代数の歪対称な延長を計算する体系的な枠組みを導入し、そのような延長が、表現がコンパクトな単純リー代数の随伴表現である場合を除き自明であることを確立している。その場合、延長は1次元であり、カルタンの3形式によって生成される。主な貢献は、これらの延長の完全な分類であり、これは3形式 torsion を持つ計量接続の一意性に関する結果を導き、リーマン幾何学におけるPl"ucker型埋め込みに関する予想を解決する。

ABSTRACT

We study the skew-symmetric prolongation of a Lie subalgebra $\g \subseteq \mathfrak{so}(n)$, in other words the intersection $Λ^3 \cap (Λ^1 \otimes \g)$.We compute this space in full generality. Applications include uniqueness results for connections with skew-symmetric torsion and also the proof of the Euclidean version of a conjecture posed in \cite{ofarill} concerning a class of Plücker-type embeddings. We also derive a classification of the metric k-Lie algebras (or Filipov algebras), in positive signature and finite dimension. Prolongations of Lie algebras can also be used to finish the classification, started in \cite{datri}, of manifolds admitting Killing frames, or equivalently flat connections with 3-form torsion. Next we study specific properties of invariant 4-forms of a given metric representation and apply these considerations to classify the holonomy representation of metric connections with vectorial torsion, that is with torsion contained in $Λ^1 \subseteq Λ^1 \otimes Λ^2$.

研究の動機と目的

• リー部分代数 𝔤 ⊆ 𝔰𝔬(n) の歪対称な延長を Λ³ ∩ (Λ¹ ⊗ 𝔤) として計算し、一般の場合に完全な分類を提供すること。
• G 構造を持つリーマン多様体上での全歪対称 torsion を持つ計量接続の存在と一意性の条件を確立すること。
• 計量 k-リー代数の構造を分析することにより、ユークリッド版のPl"ucker型埋め込みに関する予想を解決すること。
• 不変4形式とキャサミング作用素を用いて、ベクトル的 torsion を持つ計量接続のホロノミー表現を分類すること。
• 延長技術を用いて、キリングフレーム（3形式 torsion を持つ平坦接続）を許容する多様体の分類を完成させること。

提案手法

• 忠実な直交的表現 (𝔤, V) に対して、歪対称な延長を、すべての X ∈ V に対して X ⌋ T ∈ 𝔤 を満たす3形式 T ∈ Λ³V の空間として定義する。
• 表現論的技法と代数的曲率テンソルの構造を用いて延長空間を分析し、特に既約表現および随伴表現に注目する。
• ベルジャー代数分類およびキャサミング作用素の理論を用いて、ベクトル的 torsion を持つ接続のホロノミー代数を研究する。
• 表現作用を介して定義される写像 a: S²𝔤 → Λ⁴V を用いて、核と像を分析し、特にリッチ曲率と直交補空間との関係を検討する。
• 写像 I: S²𝔤 ∩ Ker(Ric) → S²𝔤⊥ における次元数え上げと単射性の議論を用いて、可能な表現を制約する。
• 既知の既約ホロノミー代数の結果およびベルジャーのリストを用い、次元8におけるスピン(7)の場合を除きすべてを除外し、解の一意性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リー代数表現の歪対称な延長がいつ自明であり、いつ1次元になるか？
• RQ2 G 構造多様体上での3形式 torsion を持つ計量接続が存在し、一意であるための条件は何か？
• RQ3 どの計量 k-リー代数（フィリポフ代数）が正定値内積を許容し、どのように分類できるか？
• RQ4 計量接続にベクトル的 torsion を持つ場合の可能なホロノミー代数は何か？ そして、代数的にどのように特徴づけられるか？
• RQ5 どの直交的表現 (𝔤, V) が Λ⁴V ∩ (Λ²V ⊗ 𝔤) = {0} を満たし、これにより表現の構造にどのような意味が生じるか？

主な発見

• 歪対称な延長 Λ³V ∩ (Λ¹V ⊗ 𝔤) は、(𝔤, V) がコンパクトな単純リー代数の随伴表現である場合を除き自明であり、その場合1次元であり、カルタンの3形式によって張られる。
• リーマン多様体上に既約な G 構造があるとき、3形式 torsion を持つ計量接続は存在し、一意であるが、G がコンパクトな単純リー代数の随伴群である場合は除く。
• G がコンパクトな単純リー代数の随伴群である特殊な場合、このような接続が存在するのは、クリフォード代数バンドル内で t² = 1 を満たす平行3形式 t が存在するときである。
• 定数3形式 torsion を持つ接続のホロノミー代数は、作用が既約である限り、𝔰𝔬(V) またはコンパクトな単純リー代数の随伴代数のいずれかである。
• 条件 Λ⁴V ∩ (Λ²V ⊗ 𝔤) = {0} と追加の核条件を満たす唯一の直交的で忠実な表現は (𝔰𝔭𝔦𝔫(7), ℝ⁸) であり、この場合の一意性が証明される。
• 正定値符号かつ有限次元における計量 k-リー代数の分類が完了し、コンパクトな単純リー代数の随伴表現から生じるもの以外に、このような構造は存在しないことが示された。