[論文レビュー] Proof Complexity of Linear Logics

Amirhossein Akbar Tabatabai, Raheleh Jalali|arXiv (Cornell University)|Jan 29, 2026

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ひとこと要約

この論文は構造規則の影響を証明の複雑さに isolating し、さまざまな線形およびサブ構造計算に対して指数的および準指数的な下限を証明し、カットなしまたは弱体化形へ移行する際に指数的な速度向上を示す。

ABSTRACT

Proving proof-size lower bounds for $\mathbf{LK}$, the sequent calculus for classical propositional logic, remains a major open problem in proof complexity. We shed new light on this challenge by isolating the power of structural rules, showing that their combination is extremely stronger than any single rule alone. We establish exponential (resp. sub-exponential) proof-size lower bounds for $\mathbf{LK}$ without contraction (resp. weakening) for formulas with short $\mathbf{LK}$-proofs. Concretely, we work with the Full Lambek calculus with exchange, $\mathbf{FL_e}$, and its contraction-extended variant, $\mathbf{FL_{ec}}$, substructural systems underlying linear logic. We construct families of $\mathbf{FL_e}$-provable (resp. $\mathbf{FL_{ec}}$-provable) formulas that require exponential-size (resp. sub-exponential-size) proofs in affine linear logic $\mathbf{ALL}$ (resp. relevant linear logic $\mathbf{RLL}$), but admit polynomial-size proofs once contraction (resp. weakening) is restored. This yields exponential lower bounds on proof-size of $\mathbf{FL_e}$-provable formulas in $\mathbf{ALL}$ and hence for $\mathbf{MALL}$, $\mathbf{AMALL}$, and full classical linear logic $\mathbf{CLL}$. Finally, we exhibit formulas with polynomial-size $\mathbf{FL_e}$-proofs that nevertheless require exponential-size proofs in cut-free $\mathbf{LK}$, establishing exponential speed-ups between various linear calculi and their cut-free counterparts.

研究の動機と目的

• 線形/サブ構造論理において構造規則（収縮、弱化）を除去することが証明サイズに与える影響を調べる。
• ALLおよびRLL変種においてFL_e が証明可能な公式に対する指数的および準指数的下限を示す。
• 特定の公式に対して収縮または弱化を回復させると多項式サイズの証明が得られることを示す。
• FL_e の多項式証明を持つ公式が存在する一方で、カット-free の LK 証明が指数的に必要となることを示し、カットの力を示す。

提案手法

• Chu の変換を用いて直観主義サブ構造論理から古典的変種へ下限を移す。
• FL_ec における証明可能性とカウンターマシン到達性との関係を利用して EXPSPACE 難易度の結果を得る。
• 単調実現可能補間（LK^{-} を介して）を適用して指数的分離を得る。その方法をカットなしおよびサブ構造設定に適応させる。
• 明示的な公式族（A_n）を構成し、FL_e 証明可能だが ALL の証明は指数的に必要で、LK の証明は多項式になる、という性質を示す。
• カットがある場合に指数的な速度向上を示すため、カットなし対カットありのシステムを比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 線形およびサブ構造論理における証明サイズを決定するうえで、収縮と弱化の正確な役割は何か。
• RQ2 指数的または準指数的下限を用いてLK（古典的シーケント計算）から収縮なしおよび弱化なしのシステムを分離できるか。
• RQ3 これらの論理においてカットなしの計算系はカットありの対応系より本質的に長い証明を必要とするか。
• RQ4 古典線形論理の証明をサブ構造論理で効率的にシミュレートでき、証明サイズにはどのような影響があるか。
• RQ5 Chu の構成のような変換とベクトル加算系との関係は、証明サイズの下限にどのように影響するか。

主な発見

• FL_e 証明可能な公式が存在し、その ALL の証明はサイズが指数的であり、LK の証明は多項式である。これは収縮なしの計算系に対する指数的分離を証明する。
• FL_ec 証明可能な公式が存在し、多項式の LK 証明を持つが、その RLL 証明は任意の準指数関数 f に対して準指数的なサイズになる。
• カットなし LK^{-} の証明可能性は単調実現可能補間を達成し、単調回路の複雑性を用いた指数的下限を可能にする。
• 多項式の FL_e 証明を持つ公式がありつつ、カットなし LK で指数サイズの証明を要するため、カットが利用可能な場合には指数的な速度向上が生じる。
• FL_e、CFL_e、IMALL、MALL、ILL、CLL の間で、収縮と弱化の組み合わせを跨いで、カットの有無の間に指数的な速度向上が確立されている。