[論文レビュー] Proof nets and the instantiation overflow property

Paolo Pistone|arXiv (Cornell University)|Mar 25, 2018

Logic, programming, and type systems参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、証明ネットと線形論理を用いて、System Fにおけるインスタンシエーションオーバーフロー性を調査し、単純型 $A$ を持つ $orall XA$ の形の型がこの性質を満たす条件を、ラッセル＝プロワツ型の一般化によって特徴づける。主な結果は完全な特徴づけである：$orall XA$ がインスタンシエーションオーバーフローを満たすのは、$A$ が帰納可能であるか、一般化されたラッセル＝プロワツ（gRP）型の積と論理的に同値である場合に限る。

ABSTRACT

Instantiation overflow is the property of those second order types for which all instances of full comprehension can be deduced from instances of atomic comprehension. In other words, a type has instantiation overflow when one can type, by atomic polymorphism, "expansion terms" which realize instances of the full extraction rule applied to that type. This property was investigated in the case of the types arising from the well-known Russell-Prawitz translation of logical connectives into System F, but is not restricted to such types. Moreover, it can be related to functorial polymorphism, a well-known categorial approach to parametricity in System F. In this paper we investigate the instantiation overflow property by exploiting the representation of derivations by means of linear logic proof nets. We develop a geometric approach to instantiation overflow yielding a deeper understanding of the structure of expansion terms and Russell-Prawitz types. Our main result is a characterization of the class of types of the form $\forall XA$, where $A$ is a simple type, which enjoy the instantiation overflow property, by means of a generalization of Russell-Prawitz types.

研究の動機と目的

• 証明ネットを用いて、System Fにおけるインスタンシエーションオーバーフロー性の幾何学的・圏論的理解を提供すること。
• 標準的なラッセル＝プロワツ型を超えて、より広い型のクラスにまでインスタンシエーションオーバーフローの特徴づけを拡張すること。
• インスタンシエーションオーバーフロー性と関手的多相性および反自然性の関係を明らかにし、その意味論的基盤を明確化すること。
• 単純型 $A$ に対して $orall XA$ がインスタンシエーションオーバーフローを満たす条件を完全に特徴づけること。
• 一般化されたラッセル＝プロワツ型の決定可能性および論理的解釈に関する未解決問題を探索すること。

提案手法

• 線形論理（特に $\mathit{IMLL^{-}}$ および $\lambda_{\multimap}$）の証明ネットを用いて導出を表現し、型構造を分析する。
• 線形に展開可能な型の概念を導入し、展開項をモデル化する単純な展開グラフを構築する。
• $\mathit{IMLL^{-}}$ および $\lambda_{\Rightarrow}$ における弱い証明ネット埋め込みおよび正性補題を用いて、代入下での型の振る舞いを分析する。
• 複雑な型構造をより単純で取り扱いやすい形に還元するための線形化定理を適用する。
• 一般化されたラッセル＝プロワツ（gRP）型を、標準的なRP型の一般化として定義し、変数の同一視と結合子の合成を許容する。
• $F_{at}$-収縮および論理的同値性を用いて、特徴づけ問題を帰納可能性またはgRP構造のチェックに還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単純型 $A$ を持つ型 $\forall XA$ のうち、どの型がインスタンシエーションオーバーフロー性を満たすか？
• RQ2 証明ネットと線形論理を用いて、インスタンシエーションオーバーフロー性を幾何的にどのように特徴づけられるか？
• RQ3 インスタンシエーションオーバーフロー性と関手的多相性または反自然性の関係は何か？
• RQ4 単純型に対してインスタンシエーションオーバーフロー性は決定可能か？ また、完全なSystem Fにおいてその決定可能性状態はいかなるものか？
• RQ5 一般化されたラッセル＝プロワツ型はどの論理結合子に対応するか？ また、元のRP翻訳をどのように拡張するか？

主な発見

• この論文は完全な特徴づけを提供する：$orall XA$ がインスタンシエーションオーバーフローを満たすのは、$A$ が帰納可能であるか、一般化されたラッセル＝プロワツ（gRP）型の積と論理的に同値である場合に限る。
• インスタンシエーションオーバーフローを満たす型のクラスは、反例 $\forall X(X\Rightarrow\forall Z Z\Rightarrow D)$ を用いて、元のラッセル＝プロワツ型をはるかに超えて大きいことが示された。
• $F_{at}$ における帰納可能性の非決定性（これは $\mathit{IFOL_{mon}^{1}}$ と同値）に起因し、完全なSystem Fにおいてインスタンシエーションオーバーフロー性は非決定的である。
• 一般化されたラッセル＝プロワツ型は、$qRP_{\mathcal{X}}$ 型における変数の同一化によって、合成論理結合子（例：$(A\land B)\lor C$）の翻訳として解釈可能である。
• インスタンシエーションオーバーフローを実現する展開項は、共変自己函手および反自然変換を用いて関手的に構成可能である。
• 反自然性を含む完全な抽出におけるインスタンシエーションオーバーフロー性の同値性は、一般化されたRP型へは自明に拡張されないため、未解決問題のまま残っている。