[論文レビュー] Proof of a conjecture of Stanley about Stern's array

David E Speyer|arXiv (Cornell University)|Jan 18, 2019

Algorithms and Data Compression参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、リチャード・スタンレーの予想を証明する。すなわち、スティーンの配列の第 $ n $ 行の要素を $ r $ 乗して和をとった $ s_n^r = \bigsum_k \biglangle n \\atop k \big angle^r $ が、以前に知られていた $ r/2 + O(1) $ よりもはるかに短い長さ $ r/3 + O(1) $ の斉次線形漸化式に従うことを示す。証明は、母関数、$ \mathrm{SL}(2,\mathbb{Z}) $ 上の線形代数、およびモジュラー群の表現論を用いて、線形作用素 $ \tilde{\rho}^* $ の固有値の上限を分析することで、漸化式の構造を解明する。

ABSTRACT

Stanley, building on work of Stern, defined an array of numbers by the recurrence $s(n, 2k) = s(n-1, k)$, $s(n, 2k+1) = s(n-1, k) + s(n-1, k+1)$. Stanley showed that, for each positive integer $r$, the sequence $s_n^r:= \sum_k s(n,k)^r$ obeys a homogeneous linear recurrence in $n$ of length $r/2+O(1)$. Numerical evidence, however, suggested that $s_n^r$ obeys shorter recurrences, of length $r/3+O(1)$. We prove Stanley's conjecture.

研究の動機と目的

• スティーンの配列の要素の $ r $ 乗和 $ s_n^r $ が、以前に知られていた $ r/2 + O(1) $ よりも短い長さ $ r/3 + O(1) $ の線形漸化式に従うというスタンレーの予想を解決すること。
• 線形作用素と群の表現を用いて、スティーンの配列における累乗和の漸化式の背後にある代数的構造を理解すること。
• 漸化式の長さを決定する線形作用素 $ \tilde{\rho}^* $ の固有値の重複度に対する鋭い上限を確立すること。
• 多項式空間の対称的および反対称的部分空間を分析し、偶数および奇数の $ r $ に対して漸化式の境界を精緻化すること。
• 特性多項式と漸化子作用素のブロック対角化を用いて、偶数および奇数の $ r $ に対して $ s_n^r $ の解析を統一すること。

提案手法

• スティーンの配列の再帰的挿入規則により生成される $ \biglangle n \\atop k \big\rangle $ を用いて、和 $ s_n^r = \bigsum_k \biglangle n \\atop k \big\rangle^r $ を定義する。
• 同次多項式の空間に作用する線形作用素 $ \tilde{\rho}^* $ を定義し、$ \tilde{\rho}^*(f)(x,y) = f(x+y, x) $ とし、多項式空間への作用を分析する。
• $ \mathrm{SL}(2,\mathbb{Z}) $ の作用を $ \tilde{\rho}^* $、$ \tau^* $、$ \rho^* $ を通じて用い、$ s_n^r $ の漸化式構造をモデル化し、問題を固有値解析に還元する。
• 不変部分空間 $ X $、$ Y^+ $、$ Y^- $ の次元を計算し、包含除算法を用いてそれらの交わりの次元を評価することで、固有値 $ \rho = \tilde{\rho}^* $ の重複度に対する下界を得る。
• 対称的および反対称的バージョン $ \tilde{\rho}_{\text{sym}}^* $ を分析し、商空間を特定することで次元を半分に削減し、漸化式の境界を精緻化する。
• 漸化子作用素 $ \tilde{\rho}_{\text{sym}}^* $ のブロック対角化と特性多項式を用いて、漸化式の長さを導出し、$ s_n^r $ が長さ $ r/3 + O(1) $ の漸化式に従うことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スティーンの配列の第 $ n $ 行の要素の $ r $ 乗和 $ s_n^r = \bigsum_k \biglangle n \\atop k \big\rangle^r $ は、数値的に示唆されているように、長さ $ r/3 + O(1) $ の線形漸化式に従うか？
• RQ2 漸化式の長さを支配する正確な代数的構造は何か？ また、関連する線形作用素 $ \tilde{\rho}^* $ の固有値がその長さをどのように決定するか？
• RQ3 多項式空間の対称的部分空間および反対称的部分空間は、特に偶数および奇数の $ r $ に対して、漸化式の長さにどのように影響するか？
• RQ4 特に $ \tilde{\rho}^* $ が同次多項式に作用する際の $ \mathrm{SL}(2,\mathbb{Z}) $ の表現論を用いて、漸化式の長さを境界づけることができるか？
• RQ5 $ s_n^r $ が満たす最小の漸化式の長さは何か？ 以前に知られていた $ r/2 + O(1) $ の境界と比較すると、どのようになるか？ また、それがタイトか？

主な発見

• 和 $ s_n^r = \bigsum_k \biglangle n \\atop k \big\rangle^r $ は、長さ $ r/3 + O(1) $ の斉次線形漸化式に従う。これによりスタンレーの予想が確認された。
• 一般の場合の漸化式長さの下界は $ \tfrac{r}{3} + [-1, \tfrac{1}{3}, \tfrac{5}{3}]_r $、対称的場合の下界は $ \tfrac{r}{6} + [-1, -\tfrac{1}{3}, \tfrac{1}{3}]_r $ である。
• 固有値 $ \rho = \tilde{\rho}^* $ の重複度は、部分空間 $ X \bigcap Y^+ $ および $ X \bigcap Y^- $ の次元推定を用いて評価され、$ \tfrac{r}{6} + [0, -\tfrac{1}{3}, \tfrac{4}{3}, -1, \tfrac{2}{3}, \tfrac{1}{3}]_r $ および同様の式が $ Y^- $ に対しても得られる。
• 奇数の $ r $ の場合、漸化式長さは $ \tfrac{r}{3} + [4, \tfrac{10}{3}, \tfrac{8}{3}]_r $ で下界づけられ、これは $ \tilde{\rho}_{\text{sym}}^* $ の特性多項式から導出される。
• 対称的バージョン $ \tilde{\rho}_{\text{sym}}^* $ は次元を半分に削減し、$ s_n^r $ の漸化式長さは $ \tfrac{r}{6} + [-1, -\tfrac{1}{3}, \tfrac{1}{3}]_r $ で下界づけられる。これにより $ r/3 $ のスケーリングが確認された。
• 漸化式 $ s_n = \bigsum_{j=1}^\nu a_j s_{n-j} + b + c(-1)^n $ の形で $ s_n^r $ が表され、$ r $ が大きくなるにつれて $ \nu \to r/3 $ となることが示され、漸近的境界が確認された。