[論文レビュー] Proof of a Conjecture on the Sequence of Exceptional Numbers, Classifying Cyclic Codes and APN Functions

Fernando Hernando, Gary McGuire|arXiv (Cornell University)|Mar 11, 2009

Coding theory and cryptography参考文献 6被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、無限個の有限体 F_{2^n} 上で単項式関数 f(x) = x^t がほとんど完全非線形（APN）であるような唯一の例外的指数 t は、2^i + 1（ゴールド数）または 4^i - 2^i + 1（カザミ・ウェルチ数）の形であることを証明している。証明は代数幾何学を用い、特に二進循環符号における重み4の符号語条件から導かれる同次多項式 g_t(x,y,z) の絶対的既約性に着目し、ベズーの定理と交線論を応用して、非例外的 t が有理点を生じることを示し、大規模な n における APN 条件または最小距離 5 の条件に矛盾することを示している。

ABSTRACT

We prove a conjecture that classifies exceptional numbers. This conjecture arises in two different ways, from cryptography and from coding theory. An odd integer $t\geq 3$ is said to be exceptional if $f(x)=x^t$ is APN (Almost Perfect Nonlinear) over $\mathbb{F}_{2^n}$ for infinitely many values of $n$. Equivalently, $t$ is exceptional if the binary cyclic code of length $2^n-1$ with two zeros $ω, ω^t$ has minimum distance 5 for infinitely many values of $n$. The conjecture we prove states that every exceptional number has the form $2^i+1$ or $4^i-2^i+1$.

研究の動機と目的

• f(x) = x^t が無限個の F_{2^n} 上で APN であるような指数 t の分類に関する、長年の予想を解消すること。
• このような t が 2^i + 1 または 4^i - 2^i + 1 の形に限られることを確立し、これらの特殊な指数の分類を完全化すること。
• 暗号理論（APN関数）と符号理論（二零点を持つ二進循環符号における最小距離 5）の両視点を統合し、予想のもとでそれらの同値性を証明すること。
• 重み4の符号語に関連する多項式 g_t(x,y,z) = (x^t + y^t + z^t + (x+y+z)^t)/((x+y)(x+z)(y+z)) を用いた、交線論とベズーの定理を応用した厳密な代数幾何学的証明を提供すること。

提案手法

• 本稿は、長さ 2^n - 1、零点が ω と ω^t である二進循環符号 C_n^t の重み4符号語条件から導かれる同次多項式 g_t(x,y,z) を分析する。
• ワイエルの補題と、g_t が F_2 上で絶対的既約な因子を持つならば、十分大きな n に対して F_{2^n} 上に有理点を持つという基準を適用する。
• t = 2^i ℓ + 1（ℓ は奇数で ℓ ≥ 3）とおくとき、gcd(ℓ, 2^i - 1) に基づいて二通りのケースに分ける。
• gcd(ℓ, 2^i - 1) = ℓ の場合、著者たちは交線論を用いる：g_t を F_2 上の既約成分 f_k に分解し、特異点 P における交線多重度 I(P, f_k,i, f_k,j) を計算し、g_t が絶対的既約でない場合にベズーの定理により矛盾を導く。
• ベズーの定理の左辺（交線多重度の和）と右辺（全次数の平方）を比較し、多重度および次数の上限に基づく不等式を用いる。
• g_t が絶対的既約でないものと仮定した場合に、そのような t が最小距離 5 の符号や無限に多くの n に対して APN 関数を生じえないことが、矛盾として生じる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 f(x) = x^t が無限個の F_{2^n} 上で APN であるような、既知のゴールド数およびカザミ・ウェルチ数以外の例外的指数 t は存在するか？
• RQ2 t が 2^i + 1 または 4^i - 2^i + 1 の形でない限り、多項式 g_t(x,y,z) = (x^t + y^t + z^t + (x+y+z)^t)/((x+y)(x+z)(y+z)) は F_2 上で絶対的既約であるか？
• RQ3 すべての十分大きな n に対して g_t が F_{2^n} 上に有理点を持つならば、t はゴールド数またはカザミ・ウェルチ数でなければならないと結論づけられるか？
• RQ4 代数幾何学的技法と交線論を用いて、例外的数の分類を g_t に関連する多項式に対して完全に達成できるか？

主な発見

• 本稿は予想1および予想2を証明した：唯一の例外的数 t は 2^i + 1 または 4^i - 2^i + 1 の形である。
• 2^i + 1 または 4^i - 2^i + 1 の形でない奇数 t ≥ 3 に対しては、長さ 2^n - 1 の二進循環符号 C_n^t（零点が ω と ω^t）は、すべての十分大きな n に対して重み4の符号語を持つ。
• t が 2^i + 1 または 4^i - 2^i + 1 の形でない限り、関数 f(x) = x^t は F_{2^n} 上で APN となる n は有限個に限られる。
• 予想3（g_t の絶対的既約性）の反例が発見された：t = 205 のとき、g_t は F_2 上で二つの既約成分に分解され、絶対的既約性が有理点の存在に必要ではないことを示している。
• g_t がすべての十分大きな n に対して F_{2^n} 上に有理点を持つような t は、ゴールド数およびカザミ・ウェルチ数に限られることを証明し、分類が正当化された。
• 非例外的 t が無限に多くの有理点を持つと仮定した場合の交線多重度の計算に矛盾を導くことで、この方法により予想が正当に解決された。