[論文レビュー] Proof of a local antimagic conjecture

John Haslegrave|arXiv (Cornell University)|May 28, 2017

Graph Labeling and Dimension Problems被引用数 24

ひとこと要約

この論文は、確率的技法を用いて、孤立辺を含まない任意の連結グラフが局所反対称ラベリングをもつことを示すことにより、局所反対称ラベル付けの予想を証明している。具体的には、1からmまでの異なるラベルをランダムに辺に割り当てたラベル付けが、隣接頂点を正の確率で区別することを示している。主な結果として、このようなグラフすべてに対して局所反対称彩色数がwell-definedであることが確立された。

ABSTRACT

An antimagic labelling of a graph $G$ is a bijection $f:E(G) o\{1,\ldots,E(G)\}$ such that the sums $S_v=\sum_{e i v}f(e)$ distinguish all vertices. A well-known conjecture of Hartsfield and Ringel (1994) is that every connected graph other than $K_2$ admits an antimagic labelling. Recently, two sets of authors (Arumugam, Premalatha, Bača \& Semaničová-Feňovčíková (2017), and Bensmail, Senhaji \& Lyngsie (2017)) independently introduced the weaker notion of a local antimagic labelling, where only adjacent vertices must be distinguished. Both sets of authors conjectured that any connected graph other than $K_2$ admits a local antimagic labelling. We prove this latter conjecture using the probabilistic method. Thus the parameter of local antimagic chromatic number, introduced by Arumugam et al., is well-defined for every connected graph other than $K_2$ .

研究の動機と目的

• K_2を除くすべての連結グラフが局所反対称ラベル付けをもつという予想を解決すること。
• 孤立辺を含まないすべての連結グラフに対して、局所反対称彩色数 $\chi_{la}(G)$ がwell-definedであることを確立すること。
• ランダムな辺ラベル付け（ラベルの順列）が隣接頂点を正の確率で区別することを示す、非構成的証明を確立すること。
• 辺のリストがサイズmである場合でも、特定の条件下で隣接頂点を区別するラベル付けが存在することを示すことにより、予想を強化すること。
• 特に距離2の頂点を区別する問題に関連して、辺ラベル付け問題における確率的技法の限界を検討すること。

提案手法

• 1からmまでの辺ラベルの均等なランダム順列が、隣接頂点を確率 $1 - \frac{1}{m}$ 以上で区別することを示す。
• 和集合の不等式を用いて、任意の隣接ペアを区別できない確率が1未満であることを示し、有効なラベル付けの存在を保証する。
• 部分集合の和の偶奇に関する補題を用いて、2つの隣接頂点が等しい頂点和を持つ確率を抑え込む。
• 5本の辺を持つグラフにおいて、次数3の2つの隣接頂点が区別されない確率を分析し、1つの例外を除いて $\frac{1}{m}$ より小さいことを示す。
• 任意の辺 $vw$ に対して、ランダムラベル付けのもとで頂点和が等しくなる確率は $\frac{1}{m}$ より小さく、等号は唯一の小さなケースでのみ成立することを確立する。
• 議論を拡張し、各辺がm個の整数のリストをもつリストベースのバージョンの予想を提示し、非区別の確率が $\frac{1}{m}$ 未満のまま保たれることを示唆する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 孤立辺を含まないすべての連結グラフが、隣接頂点の頂点和が異なる局所反対称ラベル付けをもつのか？
• RQ2 このようなラベル付けの存在を、明示的な構成なしに確率的技法を用いて証明できるか？
• RQ3 ランダムな辺ラベル付けが、特定の隣接ペアを区別できない最小の確率は何か？
• RQ4 失敗確率の上限 $\frac{1}{m}$ はタイトか？ また、等号が成立する例外的なケースはあるか？
• RQ5 確率的アプローチを、各辺がm個の許容ラベルをもつリストベースのラベル付けに拡張できるか？

主な発見

• 局所反対称ラベル付けの予想が証明された：孤立辺を含まない任意の連結グラフは局所反対称ラベル付けをもつ。
• 孤立辺を含まないm本の辺を持つ任意のグラフに対して、ラベル1からmまでのランダム順列が隣接頂点を確率 $1 - \frac{1}{m}$ 以上で区別する。
• 特定の隣接ペアが区別されない確率は $\frac{1}{m}$ より小さく、等号は5本の辺を持つグラフで隣接する次数3の頂点が1つの例外ケースでのみ成立する。
• ランダム順列を生成し、有効性をチェックする単純なアルゴリズムの期待実行時間は、mに関して高々2次関数的である。
• K_2を除くすべての連結グラフに対して、局所反対称彩色数 $\chi_{la}(G)$ がwell-definedである。
• 任意の辺リストがサイズmである場合、隣接頂点を区別する可能性が $\frac{1}{m}$ より小さい有効なラベル付けが存在するという予想を提示した。