[論文レビュー] Proof of the Riemannian Penrose Conjecture Using the Positive Mass Theorem

Hubert L. Bray|ArXiv.org|Nov 23, 1999

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 38被引用数 41

ひとこと要約

この論文は、非負のスカラー曲率をもつ漸近的に平坦な3次元多様体上の計量の新規な流れを導入することで、リーマンのペンローズ予想を証明する。この流れは、外側の最小球面（ブラックホールの事象の地平面を表す）の面積を保存しつつ、正の質量定理により全質量が非増加となるように保証する。流れは計量をシュバルツシルト幾何に発展させ、全質量がブラックホールが寄与する質量以上であることを示し、結果として予想を確認する。

ABSTRACT

We prove the Riemannian Penrose conjecture, an important case of a conjecture made by Roger Penrose in 1973, by defining a new flow of metrics. This flow of metrics stays inside the class of asymptotically flat Riemannian 3-manifolds with nonnegative scalar curvature which contain minimal spheres. In particular, if we consider a Riemannian 3-manifold as a totally geodesic submanifold of a space-time in the context of general relativity, then outermost minimal spheres with total area $A$ correspond to apparent horizons of black holes contributing a mass $\sqrt{A/16π}$, scalar curvature corresponds to local energy density at each point, and the rate at which the metric becomes flat at infinity corresponds to total mass. The Riemannian Penrose conjecture then states that the total mass of an asymptotically flat 3-manifold with nonnegative scalar curvature is greater than or equal to the mass contributed by the black holes. The flow of metrics we define continuously evolves the original 3-metric to a Schwarzschild 3-metric, which represents a spherically symmetric black hole in vacuum. We define the flow such that the area of the minimal spheres (which flow outward) and hence the mass contributed by the black holes in each of the metrics in the flow is constant, and then use the positive mass theorem to show that the total mass of the metrics is nonincreasing. Then since the total mass equals the mass of the black holes in a Schwarzschild metric, the Riemannian Penrose conjecture follows. This result improves upon the beautiful work of Huisken and Ilmanen, who used inverse mean curvature flows of surfaces to show that the total mass is at least the mass contributed by the largest black hole.

研究の動機と目的

• 漸近的に平坦な3次元多様体における全質量とブラックホール質量の関係を規定する、数学的一般相対性理論における基本的未解決問題であるリーマンのペンローズ予想を解決すること。
• 非負のスカラー曲率の仮定の下で、時空の全質量とブラックホールが寄与する質量との間の明確な関係を確立すること。
• 外側の最小球面（ありとあらゆる時点での事象の地平面）の面積を保存しつつ、計量をシュバルツシルト解に発展させる新しい幾何的流れを構築すること。
• 正の質量定理を主要な道具として用い、発展する計量の全質量が非増加であることを証明することで、予想における不等式を示すこと。

提案手法

• 初期計量がシュバルツシルト計量に発展するが、外側の最小球面の面積を保存する、リーマン多様体上の計量の新規な流れを定義する。
• 流れが非負のスカラー曲率をもち、漸近的に平坦な3次元多様体および最小球面のクラスに留まるように保証する。
• 流れを構築する際、最小球面の面積（したがってブラックホール質量）が発展中も常に一定に保たれるようにする。
• 正の質量定理を用いて、発展する計量族の各計量に対して、全質量が非増加であることを証明する。
• 正則性理論およびシュアウドレ推定を用い、共形因子および発展する最小球面に対して一様な $ C^{k,eta} $ 界を確立し、滑らかさと収束性を保証する。
• 極限において計量がシュバルツシルトに収束することに着目し、全質量がブラックホール質量と等しくなることから、連続性および単調性を用いて予想を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非負のスカラー曲率をもつ漸近的に平坦な3次元多様体において、全質量がブラックホールが寄与する質量を常に上回るかどうか、すなわちリーマンのペンローズ予想が成立するか。
• RQ2 外側の最小球面の面積を保存しつつ、計量をシュバルツシルト解に発展させる幾何的流れを構築できるか。
• RQ3 正の質量定理が適用可能な状況において、このような流れの下で発展する計量の全質量が非増加であるか。
• RQ4 発展する計量が滑らかで定義可能であることを保証するため、共形因子および最小球面に対して一様な正則性界を確立できるか。
• RQ5 ブラックホール質量が流れ中常に保存されるという条件下で、最終的なシュバルツシルト計量の質量と初期の全質量との関係は何か。

主な発見

• リーマンのペンローズ予想が証明された：非負のスカラー曲率および外側の最小球面をもつ任意の漸近的に平坦な3次元多様体に対して、全質量はブラックホール質量の和以上である。各ブラックホール質量は $ \sqrt{A/16\pi} $ で与えられ、$ A $ はその地平面の面積である。
• 正の質量定理を各計量に適用することで、発展する計量族の全質量が流れに沿って非増加であることが保証される。
• 外側の最小球面の面積は流れ中常に一定であり、ブラックホール質量の寄与が保存されることを保証する。
• 流れは滑らかにシュバルツシルト計量に収束し、全質量がブラックホール質量と等しくなる。これにより、極限で等号が成立し、初期状態における不等式が連続性および単調性により証明される。
• 離散化パrameter $ \epsilon $ に依存しない一様な $ C^{k,eta} $ 界が共形因子および最小球面に対して確立され、流れの存在および正則性が保証される。
• 得られた手法は、主な予想を超えて、良好な単調性をもつ新しい準局所質量関数を導く。