[論文レビュー] PROP profile of deformation quantization and graph complexes with loops and wheels

Sergei Merkulov|ArXiv.org|Dec 13, 2004

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 7被引用数 20

ひとこと要約

この論文は、プロップの文脈における変形量子化を分析するために、向き付けられたループおよびホイルを有する有向グラフ複体を導入し、それらを研究する。普遍的な量子化がポincare構造に一致することを確立し、Lie 1-双代数プロップのホイル拡張が非ホイル対応物と quasi-isomorphic でないことを示し、トレース操作に不可欠なホイルを含むグラフが有限次元の普遍的量子化公式において避けがたいことを証明する。

ABSTRACT

Motivated by the problem of deformation quantization we introduce and study directed graph complexes with oriented loops and wheels. We develop some technique for computing cohomology of such graph complexes and apply it to several concrete examples such as wheeled completion of the operad of strongly homotopy Lie algebras and the wheeled completion of the dg prop of Poisson structures. We prove also a deformation quantization theorem of wheeled Poisson structures on arbitrary formal graded manifolds.

研究の動機と目的

• 有向グラフに向き付けられたループおよびホイルを含めるようにグラフ複体の理論を拡張し、特に変形量子化の文脈においてそれらを考察すること。
• ホイル付きプロップ拡張が、次数付き多様体上のポincare構造およびスター積を記述するのにおける役割を理解すること。
• Lie 1-双代数プロップの最小的解体からプロップ自体への自然なエピモルフィズムが、ホイル付き完成を経てても quasi-isomorphism のままであるかどうかを調査すること。
• 特に高 genus のホイルについてのホイル付きグラフ複体のコホモロジー行動を特定すること。
• 有限次元における普遍的変形量子化公式がトレース操作を必要とするため、ホイル付きグラフが本質的に避けがたいことの確立。

提案手法

• 多微分作用素のホッホシュイルド dg リー代数におけるムーラー＝カルタン要素を分類する代表を特徴づける dg 自由プロップ $\mathsf{DefQ}$ を導入する。
• ループおよびホイルを有する Lie 1-双代数プロップの最小的解体として、ホイル付き完成 $\mathsf{Lie}^1\mathsf{B}_\infty^{\circlearrowright}$ を定義する。
• マーク付きグラフにおける巡回群作用および対称化作用素 $N = 1 + t + \cdots + t^{n-1}$ を用いて、第4象限の双複体を構成する。
• 巡回ホモロジー枠組みを用いて、マークなしグラフ複体のコホモロジーと双複体の全複体のコホモロジーを関連付ける。
• 恒等式 $N\delta = bN$ および $\delta(1-t) = (1-t)b$ を適用し、特定の条件下で非可縮性結果を証明する。
• 高々 genus 1 のホイルを有するグラフで張られる部分複体のコホモロジーを分析し、3つのホイルを持つ非自明なクラスを同定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次数付き多様体上のポincare構造の普遍的変形量子化公式は、必然的にホイルを含むグラフに依存するのか？
• RQ2 ホイル付き完成を経た後も、$\mathsf{Lie}^1\mathsf{B}_\infty \to \mathsf{Lie}^1\mathsf{B}$ である自然なエピモルフィズムが quasi-isomorphism のままであるのか？
• RQ3 ホイル付き拡張 $\mathsf{Lie}_\infty^{\circlearrowright}$ のコホモロジーは何か？ そして、非ホイルの場合とはどのように異なるのか？
• RQ4 高 genus のホイルを有するグラフ複体のコホモロジーは非自明になり得るか？ もし可能ならば、そのようなクラスの構造は何か？
• RQ5 巡回群作用および対称化作用素 $N$ は、ホイル付きグラフ複体のコホモロジー計算にどのように寄与するか？

主な発見

• 定理 4.1.1 で示されるように、ホイル付き拡張 $\mathsf{Lie}_\infty^{\circlearrowright}$ のコホモロジーはほとんど至る所で非可縮性を保つ。
• ホイル付き完成の $\mathsf{Ass}_\infty$ 操作子のコホモロジーは、非ホイルの場合よりも著しく複雑になる。
• 3つのホイルを持つ非自明なコホモロジークラスを明示的に構成し、自然なエピモルフィズム $\mathsf{Lie}^1\mathsf{B}_\infty^{\circlearrowright} \to \mathsf{Lie}^1\mathsf{B}^{\circlearrowright}$ が quasi-isomorphism でないことを証明した。
• 高々 genus 1 のホイルを有するグラフで張られる $\mathsf{Lie}^1\mathsf{B}_\infty^{\circlearrowright}$ の部分複体は、ほとんど至る所で非可縮性を保つ。
• トレース操作が有限次元設定で必要となるため、普遍的変形量子化公式においてホイル付きグラフは避けがたい。
• マークなしグラフ複体 $H(\mathsf{T}^{\circlearrowright}\langle E\rangle, \delta)$ のコホモロジーは、巡回双複体 $C_{\bullet,\bullet}$ の全複体のコホモロジーと同型である。