[論文レビュー] Propagation dynamics of a light beam in fractional Schr\"odinger equation

Yiqi Zhang, Xing Liu+4 more|arXiv (Cornell University)|Oct 20, 2015

Nonlinear Photonic Systems参考文献 1被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、調和ポテンシャルを伴う分数級シュレーディンガー方程式（FSE）における光ビームの伝播ダイナミクスを調査し、非局所的分数級ラプラシアン効果により、1次元では非調和的でジグザグな軌道、2次元では漏斗状で繊維状の構造が生じることを明らかにした。標準量子力学とは異なり、ビームは実空間および運動量空間で非調和的で不規則な振動を示し、局在化は維持されるが、スペクトルの広がりにより長距離伝播で不安定化が生じる。

ABSTRACT

Dynamics of wavepackets in fractional Schrodinger equation is still an open problem. The difficulty stems from the fact that the fractional Laplacian derivative is essentially a nonlocal operator. We investigate analytically and numerically the propagation of optical beams in fractional Schr\"odinger equation with a harmonic potential. We find that the propagation of one- and two-dimensional (1D, 2D) input chirped Gaussian beams is not harmonic. In 1D, the beam propagates along a zigzag trajectory in the real space, which corresponds to a modulated anharmonic oscillation in the momentum space. In 2D, the input Gaussian beam evolves into a breathing ring structure in both real and momentum spaces, which forms a filamented funnel-like aperiodic structure. The beams remain localized in propagation, but with increasing distance display increasingly irregular behavior, unless both the linear chirp and the transverse displacement of the incident beam are zero.

研究の動機と目的

• 調和ポテンシャルを伴う分数級シュレーディンガー方程式（FSE）における波束の時間的・空間的ダイナミクスを、これまでに十分に調査されていない状況として調査すること。
• 分数級ラプラシアン導関数の非局所的性質が、標準量子力学と比較してビーム伝播にどのように影響を与えるかを理解すること。
• チルプおよび横方向のずれが存在する状況において、実空間と運動量（k）空間におけるビーム発展の違いを分析すること。
• FSEにおけるビームダイナミクスの解析的解を確立し、数値シミュレーションによる検証を行うこと。
• 分数量度レンズ媒体や非球面キャビティを含む光学系を用いた実験的実現可能性を示すこと。

提案手法

• 本研究では、準等方波動方程式がシュレーディンガー方程式に等価であることに基づき、FSEに拡張して、分数量度量子系におけるビーム伝播をモデル化した。
• 分数級ラプラシアンはフーリエ変換を用いて取り扱い、FSEを運動量空間における線形ポテンシャル項を有する標準シュレーディンガー方程式に変換した。
• 1次元および2次元の場合の解析的解は、特性曲線法およびフーリエ積分変換を用いて導出され、特にチルプ付きガウスビームに対して適用した。
• ビーム幅、ピーク強度、位相の進化に注目しながら、実空間およびk空間におけるダイナミクスを分析した。
• 長距離伝播における不安定性が顕在化する状況を想定し、解析的予測の妥当性を検証するため、数値シミュレーションを実施した。
• 2次元への拡張は、放物型ポテンシャル内での径方向チルプおよび横方向ずれを有する円対称ガウスビームを考慮することで行った。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 FSEにおける非局所的分数級ラプラシアンは、標準量子力学と比較して、調和ポテンシャル内での光ビームの調和振動行動にどのように影響を与えるか？
• RQ2 調和ポテンシャルを伴う1次元および2次元FSE系におけるチルプ付きガウスビームの軌道および構造的進化は何か？
• RQ3 なぜFSEにおけるビームは長距離伝播に伴い、運動量空間で不規則性が増し、スペクトルが広がるのか？
• RQ4 線形チルプおよび横方向ずれの存在が、FSE伝播におけるビームの局在化および安定性にどのように影響を与えるか？
• RQ5 FSEのダイナミクスは、分数量度GRIN媒体などの光学系で解析的に解けるか、実験的に実現可能か？

主な発見

• 1次元では、チルプ付きガウスビームは実空間でジグザグな軌道を描き、運動量空間では調和運動とは異なる非調和的振動を示す。
• 2次元では、ビームは呼吸するリング構造へと進化し、折りたたまれた軌跡を持つ不規則なフィラメント状の漏斗構造を実空間および運動量空間で形成する。これは、転送点におけるキーンクのような屈折率変化に起因する。
• ビームは伝播中に局在化され、エネルギー保存が維持されるが、k空間におけるスペクトルの広がりにより、長距離伝播では不規則性が増大する。ただし、チルプとずれが両方ともゼロの場合に限る。
• 短距離伝播では、FSEにおける解析的解と数値シミュレーションの結果が良好に一致しており、ビーム進化の導出式の妥当性が確認された。
• 1次元における振動周期は 𝒪 = 0（x₀ = C = 0 のとき）で与えられ、x = 0およびk = 0に沿ったビームの局在化を保証し、ブレーター的挙動を示す。
• 2次元では、伝播周期は ℒ = 4√(r₀² ∓ C/β²) で与えられ、ピーク強度の変動が顕著に現れ、実空間およびk空間でフィラメント化が観察される。これは円錐型のポテンシャルプロファイルに起因する。