[論文レビュー] Propagation time for probabilistic zero forcing

Jesse Geneson, Leslie Hogben|arXiv (Cornell University)|Dec 24, 2018

Advanced Graph Theory Research参考文献 11被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、噂や感染の広がりをモデル化する確率的ゼロフォースティングという確率的グラフ彩色プロセスにおける予想される伝搬時間を導入し、分析する。パスとサイクルについて正確な予想される伝搬時間を導出し、スターや一般のグラフについて漸近的上限を示し、確率的スロッティングおよび信頼度伝搬に応用することで、確率的およびグラフ論的技法を用いてタイトな境界を確立する。

ABSTRACT

Zero forcing is a coloring game played on a graph that was introduced more than ten years ago in several different applications. The goal is to color all the vertices blue by repeated use of a (deterministic) color change rule. Probabilistic zero forcing was introduced by Kang and Yi in [Probabilistic zero forcing in graphs, Bull. Inst. Combin. Appl. 67 (2013), 9--16] and yields a discrete dynamical system, which is a better model for some applications. Since in a connected graph any one vertex can eventually color the entire graph blue using probabilistic zero forcing, the expected time to do this is a natural parameter to study. We determine expected propagation time exactly for paths and cycles, establish the asymptotic value for stars, and present asymptotic upper and lower bounds for any graph in terms of its radius and order. We apply these results to obtain values and bounds on $\ell$-round probabilistic zero forcing, throttling number for probabilistic zero forcing, and confidence levels for propagation time.

研究の動機と目的

• 連結グラフにおける確率的ゼロフォースティングの予想される伝搬時間を確立すること。これは決定的ゼロフォースティングの確率的変種である。
• すべての頂点が青に染まるまでの予想される時間のグラフ構造依存性、特にパス、サイクル、スターや一般のグラフについて分析すること。
• 結果を確率的スロッティングおよび信頼度伝搬時間へと拡張し、確率的彩色プロセスにおける効率性と信頼性のための新たなパラメータを導入すること。
• グラフの半径および次数を用いて、予想される伝搬時間のタイトな漸近的境界を提供すること。また、初期頂点集合の最適化について検討すること。

提案手法

• 各青頂点が、自身の閉近傍のうち既に青に染められた割合に比例する確率で、各白い隣接頂点を強制的に青に染める確率的色変更ルールを用いる。
• Markovの不等式および集中不等式を用いて、すべての頂点が青に染まるまでのラウンド数の期待値を推定する。
• Lemma 2.10 を用いて、青頂点集合のすべての隣接頂点が青に染まるまでの期待時間をバウンドし、期待時間における対数的成長を活用する。
• 特にパス、サイクル、スターや一般のグラフについて、グラフの半径および次数を用いて、予想される伝搬時間の上界および下界を導出する。
• 信頼度伝搬時間および信頼度スロッティングを導入し、期待される伝搬時間とMarkovの不等式を用いて、所定の信頼度に到達するまでの時間をバウンドする。
• スパニングツリーおよび中心に基づく構成を用いて、確率的スロッティングおよび信頼度スロッティングの上界を導出し、木およびスパイダーの構造を活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パス $P_n$ およびサイクル $C_n$ における確率的ゼロフォースティングの正確な予想される伝搬時間は何か？
• RQ2 次数 $n$ の一般の連結グラフにおける予想される伝搬時間の漸近的境界は何か？特にスターや一般のグラフについて。
• RQ3 さまざまなグラフ族において確率的スロッティングはどのように振る舞い、そのタイトな上界および下界は何か？
• RQ4 信頼度伝搬時間とは何か？また、予想される伝搬時間および信頼度スロッティングとどのように関係するか？
• RQ5 最適な初期頂点集合を選択することで、予想される伝搬時間を最小化できるか？また、そのような最適化に影響を与えるグラフの構造的性質は何か？

主な発見

• パス $P_n$ における予想される伝搬時間は $\Theta(\log n)$ であり、サイクル $C_n$ に対しても同様に $\Theta(\log n)$ である。両者について正確な定数が導出された。
• スターグラフ $K_{1,n-1}$ において、予想される伝搬時間は漸近的に $\Theta(\log n)$ であり、パスおよびサイクルのケースと一致する。
• 次数 $n$ の任意の連結グラフ $G$ に対して、予想される伝搬時間は上界として $O(\sqrt{n} \log^2 n)$ であり、下界として $\Omega(\sqrt{n})$ である。
• 確率的スロッティング番号は $\Omega(\sqrt{n})$ および $O(\sqrt{n} \log^2 n)$ であり、パスおよびサイクルにおいてタイトな境界が達成される。
• 信頼度伝搬において、信頼度スロッティング番号 $\operatorname{th}(G,\alpha)$ は $O(\sqrt{n} \log^2 n)$ である。パスおよびサイクルにおいては $\sqrt{2n} + O(\log n)$ であり、$O(\log n)$ の定数は $\alpha$ に依存する。
• スパイダー（1つの中心頂点を持つ木）において、信頼度スロッティング番号は $\operatorname{th}_+(T) + O(\log n)$ であり、定数は $\alpha$ に依存する。これは初期集合のサイズと伝搬時間の間でタイトなトレードオフが成立することを示している。