[論文レビュー] Proper actions, fixed-point algebras and naturality in nonabelian duality

S. Kaliszewski, John Quigg+1 more|ArXiv.org|Dec 30, 2007

Advanced Operator Algebra Research参考文献 17被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、$G$ が局所コン pact ハウスドルフ空間 $X$ 上に自由かつ適切に作用するとき、$(C_0(X), \gamma)$ からの $G$--equivariant なホモオモルフィズムを備えた $C^*$-動的系のコママ圏に倣って、リエッフェルの一般化固定点代数のファンクター的かつ自然な枠組みを確立する。主な貢献は、リエッフェルの $A^\alpha$ と $A \times_{\alpha,r} G$ 間のモリタ同値が自然であることを示し、ランズタッド双対性およびマンズフィールドのプリミティブ性定理の圏論的表現を導くことにある。

ABSTRACT

Suppose a locally compact group G acts freely and properly on a locally compact Hausdorff space X, and let gamma be the induced action on C_0(X). We consider a category in which the objects are C*-dynamical systems (A, G, alpha) for which there is an equivariant homomorphism of (C_0(X), gamma) into the multiplier algebra M(A). Rieffel has shown that such systems are proper and saturated, and hence have a generalized fixed-point algebra A^alpha which is Morita equivalent to A times_{alpha,r} G. We show that the assignment (A, alpha) maps to A^alpha is functorial, and that Rieffel's Morita equivalence is natural in a suitable sense. We then use our results to prove a categorical version of Landstad duality which characterizes crossed products by coactions, and to prove that Mansfield imprimitivity for crossed products by homogeneous spaces is natural.

研究の動機と目的

• 適切かつ飽和した作用の文脈において、リエッフェルの一般化固定点代数のファンクター的構造を確立すること。
• 固定点代数と減少クローズド積の間のリエッフェルのモリタ同値が、圏論的意味で自然であることを示すこと。
• コアクションに関するランズタッド双対性を、コママ圏の構成を用いて圏論的に再定式化すること。
• 同様の枠組みにおいて、同次空間に対するマンズフィールドのプリミティブ性定理におけるモリタ同値が自然に実現されることを示すこと。
• 自然変換を含む圏論的枠組みに埋め込むことで、非アーベル双対性における既存の結果を統一的かつ一般化すること。

提案手法

• 著者らは、$G$ が局所コン pact ハウスドルフ空間 $X$ 上に自由かつ適切に作用するとき、$(C_0(X), \gamma)$ に関するコママ圏を定義し、$M(A)$ に倣って $(C_0(X), \gamma)$ からの $G$--equivariant ホモオモルフィズムを備えた $C^*$-動的系 $(A, \alpha)$ を考察する。
• dense $^*$-部分代数 $\operatorname{span} C_c(X) A C_c(X)$ 上に平均化作用素 $E$ を構成し、その像が一般化固定点代数 $\operatorname{Fix}(A, \alpha, \phi)$ を張ることを示す。
• $(A, \alpha) \mapsto \operatorname{Fix}(A, \alpha, \phi)$ がコママ圏から $C^*$-代数の圏へのファンクターに拡張されることを証明する。
• 作用が自由であるとき、$A^\alpha$ と $A \times_{\alpha,r} G$ 間のリエッフェルのモリタ同値が、固定点ファンクターと減少クローズド積ファンクターの間の自然変換であることを確立する。
• この枠組みを用いて、コアクションに関するランズタッド双対性の圏論的版を導出し、$(C_0(G), \text{rt})$ に関するコママ圏内のシステムとしてクローズド積を特徴づける。また、同次空間に対するマンズフィールドのプリミティブ性定理の自然性を証明する。
• 全コアクションと減少コアクションの間の関係を確立するため、正規化および減少ファンクターを含むコアクション理論の技術的道具を用い、クローズド積ファンクター間の自然同型を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $(C_0(X), \gamma)$ からの $G$--equivariant 写像を備えた $C^*$-動的系のコママ圏において、リエッフェルの一般化固定点代数の構成がファンクター的であるか？
• RQ2 固定点代数と減少クローズド積の間のモリタ同値が、圏論的意味で自然であると示せるか？
• RQ3 コアクションに関するランズタッド双対性を、コママ圏の構成を用いて圏論的に再定式化できるか？
• RQ4 同次空間に対するマンズフィールドのプリミティブ性定理におけるモリタ同値が、この枠組み内で自然に実現されるか？
• RQ5 コアクション上の正規化および減少ファンクターが、クローズド積構成の自然性を保存するか？

主な発見

• $(A, \alpha) \mapsto A^\alpha$ は、コママ圏 $(C_0(X), \gamma) \downarrow \mathcal{A}(G)$ から $C^*$-代数の圏へのファンクターを定める。
• $G$ が $X$ 上に自由に作用するとき、$A^\alpha$ と $A \times_{\alpha,r} G$ 間のリエッフェルのモリタ同値は、固定点ファンクターと減少クローズド積ファンクターの間の自然変換である。
• ランズタッド双対性の圏論的版が確立された：コアクションによるクローズド積は、$(C_0(G), \text{rt})$ に関するコママ圏内のシステムとして正確に特徴づけられ、このようなシステムの新しい特徴付けを提供する。
• マンズフィールドのプリミティブ性定理における同次空間のモリタ同値が自然であることが示され、商群に対する既存の結果を拡張する。
• 全コアクション上の正規化ファンクターはクローズド積ファンクターと整合する。$\textup{CP}^n \circ \textup{Nor}$ は $\textup{CP}^m$ に自然同型であり、コアクションの種類に跨る一貫性が確認される。
• 結果として、双対関手および自然変換と関連する非アーベル双対性の理解を強化する統一的圏論的枠組みが提供される。