[論文レビュー] Proper actions of wreath products and generalizations

Yves Cornulier, Yves Stalder+1 more|arXiv (Cornell University)|May 25, 2009

Advanced Operator Algebra Research参考文献 14被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、可算群の標準的ワレイプロダクトにおいて、Haagerup性およびヒルバート空間への粗い埋め込みが保存されることを確立する。測度付きウォール構造とL¹空間への作用の標準的構成を用いて、HとGがHaagerup性を持つならばH≀Gも同様にHaagerup性を持つことを証明し、このようなワレイプロダクトにおける相対的Property Tの特徴づけを提示する。

ABSTRACT

We study stability properties of the Haagerup property and of coarse embeddability in a Hilbert space, under certain semidirect products. In particular, we prove that they are stable under taking standard wreath products. Our construction also allows for a characterization of subsets with relative Property T in a standard wreath product.

研究の動機と目的

• 半直積、特にワレイプロダクトにおけるHaagerup性およびヒルバート空間への粗い埋め込みの安定性を調査すること。
• 可算群の標準的ワレイプロダクトにおいてHaagerup性が保存されるかどうかという問題を解決すること。
• 標準的ワレイプロダクトにおける部分集合の相対的Property Tの特徴づけを提供すること。
• 測度付きウォール形式を用いて、部分群やアメニタリック商への拡張を超えてHaagerup性の永続性結果を拡張すること。
• L¹同長作用とヒルバート空間同長作用の間の構造的差を強調しつつ、ワレイプロダクトがL¹同長作用においてヒルバート空間同長作用よりも良好に働くことの実例を示すこと。

提案手法

• Haagerup性の測度付きウォールによる特徴づけを用い、L¹空間への作用と適切な同長作用を結びつける。
• GがH^(G)に作用することを用いて、H≀GにG不変の対称的測度付きウォール構造を標準的に構成する。
• 測度付きウォールとL¹同長作用の双対性を応用し、基本群からワレイプロダクトへの適切さを移す。
• H≀Gの基底集合をH^(G) × Gと同一視することにより、ウォール構造を定義・解析する。
• 対称的測度付きウォールと標準的測度付きウォールの逆構成を用いて、群作用と整合性を保証する。
• Hecke対および不変カーネルの結果を応用し、群作用下での同次空間の構造とその有限性性質を解析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可算群の標準的ワレイプロダクトにおいてHaagerup性は安定するか？
• RQ2 ワレイプロダクトH≀Gにおける相対的Property Tは、基本群および作用群の構造を用いて特徴づけられるか？
• RQ3 H^(G)およびG上の測度付きウォール構造は、どのようにしてH≀Gに対するL¹空間上での適切な作用を導くか？
• RQ4 粗いヒルバート空間埋め込みとワレイプロダクトの構造との関係は何か。特にL¹同長作用とL²同長作用の違いに照らして。
• RQ5 ワレイプロダクトは、商や拡張が関与する場合に、Haagerupクラスの永続性性質をどの程度保存するか？

主な発見

• HとGが両方ともHaagerup性を持つ限り、標準的ワレイプロダクトH≀GもHaagerup性を持つ。これは[Ch]で提起された問題を解決し、以前の結果を一般化する。
• 証明は、H≀GにG不変かつ対称的な測度付きウォール構造を構成し、それに対応するL¹空間上での作用が距離的に適切であることに基づく。
• この構成により、ワレイプロダクトが部分群や相対バージョンの両方においてHaagerup性を保存することが示される。
• 部分集合X ⊂ H≀Gが相対的Property Tを持つための特徴づけが与えられる：そのような部分集合は、GおよびH^(G)への射影が特定の有界性条件を満たすものに限る。
• 本稿は、H≀Gがヒルバート空間に準等長的に埋め込まれない場合でも、L¹空間上に適切な同長作用をもつ可能性があることを示しており、例としてZ≀Zが挙げられる。
• この結果は、Haagerup群のクラスが商に関して閉じていないことを示唆しており、反例としてZ≀SL₂(Z)はHaagerup的であるが、その商Z²⋊SL₂(Z)はそうではない。