[論文レビュー] Proper Affine Hyperspheres which fiber over Projective Special Kaehler Manifolds

Oliver Baues, Vicente Cortés|ArXiv.org|May 29, 2002

Geometry and complex manifolds参考文献 9被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、射影的特殊カーラー多様体上の自然な $S^1$-バンドルの全空間が、ホフプのファイブレーションを一般化する、Sasakian構造を備えた適切なアフィン超曲面の構造を持つことを確立している。主な結果は、全空間のアフィン幾何が、それに対応する錐型特殊カーラー幾何のすべての情報を符号化することを示しており、これを用いてカミヤ＝ヤウ3次元多様体のクラスティーシュモジュライ空間上にローレンツ型アフィン超曲面を構成する。

ABSTRACT

We show that the natural S^1-bundle over a projective special Kaehler manifold carries the geometry of a proper affine hypersphere endowed with a Sasakian structure. The construction generalizes the geometry of the Hopf-fibration $\Sr^{2n+1} \longrightarrow \CP^n$ in the context of projective special Kaehler manifolds. As an application we have that a natural circle bundle over the Kuranishi moduli space of a Calabi-Yau threefold is a Lorentzian proper affine hypersphere.

研究の動機と目的

• 射影的特殊カーラー多様体に関連する標準的なアフィン微分幾何を理解すること。
• 複素射影空間からのホフプのファイブレーション構成を、射影的特殊カーラー幾何の枠組みへ一般化すること。
• 射影的特殊カーラー多様体上の自然な円バンドルの全空間が、適合する Sasakian 構造を備えた適切なアフィン超曲面であることを示すこと。
• この構成をカミヤ＝ヤウ3次元多様体のクラスティーシュモジュライ空間に適用し、ローレンツ型アフィン超曲面構造を導出すること。
• ヘルミート対称空間上に、作用の半単純なトランスティヴな自己同型群を有するバンドルを分類し、それらから同次的ローレンツ型アフィン超曲面を得ること。

提案手法

• 関連する錐型特殊カーラー多様体 $M$ 上の標準的 $\mathbb{R}^*$-作用を用いて、射影的特殊カーラー多様体 $\bar{M}$ 上に $S^1$-バンドルを構成する。
• このバンドルの全空間 $S$ が $S^1$-作用によって誘導される Sasakian 構造を有することを示す。
• アフィン構造と Sasakian 構造の整合性を用いて、形状作用素の条件 $A = \kappa \cdot \mathrm{id}$ ($\kappa \neq 0$) を満たすことで、$S$ が適切なアフィン超曲面であることを証明する。
• アフィン微分幾何の基本定理を用いて、$\hat{\nabla}^*$ が射影的に平坦である統合性条件を満たすことで、$S$ が $\mathbb{R}^{n+1}$ へのブラシケ・埋め込みから生じることを確立する。
• 錐型特殊カーラー幾何が、$S$ 上のアフィン Sasakian 幾何を通じて、誘導された計量と接続を介して符号化されることを活用する。
• この構成をカミヤ＝ヤウ3次元多様体のクラスティーシュモジュライ空間に適用し、得られるバンドルがローレンツ型適切なアフィン超曲面であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 射影的特殊カーラー多様体の幾何は、円バンドル構成を通じてどのように適切なアフィン超曲面へと上昇するのか？
• RQ2 全空間上の Sasakian 構造と、超曲面のアフィン微分幾何の間にはどのような関係があるのか？
• RQ3 射影的特殊カーラー多様体上の自然な $S^1$-バンドルの全空間に、すべての多様体に対して一様に、標準的なアフィン超曲面構造を構成できるか？
• RQ4 この構成をカミヤ＝ヤウ3次元多様体のクラスティーシュモジュライ空間に適用した場合、全空間にローレンツ型計量が得られるか？
• RQ5 どのバンドルが、ヘルミート対称空間上に作用の半単純なトランスティヴな自己同型群を有し、同次的ローレンツ型アフィン超曲面をもたらすか？

主な発見

• 射影的特殊カーラー多様体 $\bar{M}$ 上の自然な $S^1$-バンドルの全空間 $S$ は、適合する Sasakian 構造を備えた適切なアフィン超曲面である。
• 全空間 $S$ のアフィン幾何は、関連多様体 $M$ 上の錐型特殊カーラー幾何のすべての情報を符号化しており、幾何的双対性を確立する。
• カミヤ＝ヤウ3次元多様体のクラスティーシュモジュライ空間に適用した場合、この構成は、ローレンツ型符号を有する標準的アフィン計量を備えたローレンツ型適切なアフィン超曲面をもたらす。
• $\bar{M}$ が完備で、$S$ 上の計量が定符号でない場合、非自明な完備モデルが射影的特殊カーラー多様体に対して存在し、$\mathbb{C}P^n$ の場合を一般化する。
• 非コンパクト型のヘルミート対称空間 $G/K$ に対して、関連する同次的ローレンツ型アフィン超曲面 $S = G/\tilde{K}$ は、コンパクトなクランプ＝クライン形式 $S_\Gamma = \Gamma \backslash G / \tilde{K}$ を持ち、等長な $S^1$-作用を有し、その軌道空間は $\bar{M}_\Gamma = \Gamma \backslash G/K$ である。