[論文レビュー] Proper connection number and 2-proper connection number of a graph

Fei Huang, Xueliang Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 6, 2015

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 9被引用数 13

ひとこと要約

この論文は、グラフの適切な接続数と2-適切な接続数を調査し、最小次数と辺数に基づいたタイトな上界を確立する。密度の高いグラフで、辺数が $inom{n-3}{2}+4$ 以上である場合、適切な接続数は2であり、辺数が $inom{n-4}{2}+5$ 以上である場合、適切な接続数は3以下であることが証明されており、辺色分け制約下での接続性に鋭い閾値を提供する。

ABSTRACT

A path in an edge-colored graph is called a proper path if no two adjacent edges of the path are colored with one same color. An edge-colored graph is called $k$-proper connected if any two vertices of the graph are connected by $k$ internally pairwise vertex-disjoint proper paths in the graph. The $k$-proper connection number of a $k$-connected graph $G$, denoted by $pc_k(G)$, is defined as the smallest number of colors that are needed in order to make $G$ $k$-proper connected. For $k=1$, we write $pc(G)$ other than $pc_1(G)$, and call it the proper connection number of $G$. In this paper, we present an upper bound for the proper connection number of a graph $G$ in terms of the minimum degree of $G$, and give some sufficient conditions for a graph to have $2$-proper connection number two. Also, we investigate the proper connection numbers of dense graphs.

研究の動機と目的

• グラフの適切な接続数が小さな定数で有界であるための十分な条件を特定すること。
• 最小次数と辺密度の観点から、適切な接続数に対するタイトな上界を確立すること。
• 2-適切な接続数を調査し、それが正確に2であるための条件を同定すること。
• 適切パス彩色に関する結果を、密度の高いおよび高接続性の高いグラフに拡張すること。
• 特定の辺数を持つグラフにおける適切な接続数の鋭い閾値を提供すること。

提案手法

• 高い辺密度を持つグラフを、頂点の次数と接続性に関する帰納法と構造的解析を用いて分析する。
• 既知の二部グラフの2-連結全域部分グラフに関する結果を適用し、適切な接続数を制限する。
• 辺数の数え上げ的議論を用いて、最小次数が低く、接続性が低いグラフにおける辺数の上界を導出する。
• 複数の適切な経路が頂点対間に存在することを保証するため、辺色分けにおける強性の性質を用いる。
• 密度の高いグラフに2-連結な二部グラフの全域部分グラフが存在することを活用し、$pc(G) = 2$ を確立する。
• 低次数の頂点を削除することで、既知の適切な接続数を持つより小さなグラフに問題を還元する分析を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グラフが適切な接続数2を保ったままもつことのできる辺数の最大値は何か？
• RQ2 どのような条件下で、グラフの2-適切な接続数が2に等しくなるか？
• RQ3 グラフの最小次数は、その適切な接続数にどのように影響するか？
• RQ4 どの辺密度の閾値が、適切な接続数が3以下であることを保証するか？
• RQ5 特定の辺数を持つ密度の高いグラフは、常に小さな適切な接続数を持つことが保証されるか？

主な発見

• 位数 $n \geq 14$ の連結グラフ $G$ について、$|E(G)| \geq \binom{n-3}{2}+4$ ならば、$pc(G) = 2$ である。
• 位数 $n \geq 15$ の連結グラフ $G$ について、$|E(G)| \geq \binom{n-4}{2}+5$ ならば、$pc(G) \leq 3$ である。
• 最小次数が5以下で、辺密度が高いグラフは、適切な接続数が2に保証される。
• グラフの適切な接続数は、上界として $\Delta(G)+1$ に制限されるが、密度の高いグラフではよりタイトな境界が確立されている。
• グラフに2-連結な二部グラフの全域部分グラフが存在することは、$pc(G) = 2$ を意味する。この性質が主な結果の導出に用いられている。
• 結果はタイトである：適切な接続数が正確に2または3である辺閾値に達するグラフが存在する。