[論文レビュー] Proper Holomorphic Mappings onto Symmetric Products of a Riemann Surface

Gautam Bharali, Indranil Biswas+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2018

Meromorphic and Entire Functions被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、非コンパクトなリーマン面のn重対称積（n ≥ 2）の間の正則的かつproperな写像が剛性を持つことを確立する：このような写像は、対応する基底となる面の間のproperな正則写像によって誘導される。主な結果は、任意のproperな正則写像 $F: \mathrm{Sym}^n(X) \to \mathrm{Sym}^n(Y)$ が、各因子上で $F_j: X_j \to Y$ というproperな正則写像によって誘導されることを示しており、平面領域に関する古典的結果を一般化するとともに、コンパクトなリーマン面で観察された剛性現象を非コンパクトな設定へと拡張する。

ABSTRACT

We show that the structure of proper holomorphic maps between the $n$-fold symmetric products, $n\geq 2$, of a pair of non-compact Riemann surfaces $X$ and $Y$, provided these are reasonably nice, is very rigid. Specifically, any such map is determined by a proper holomorphic map of $X$ onto $Y$. This extends existing results concerning bounded planar domains, and is a non-compact analogue of a phenomenon observed in symmetric products of compact Riemann surfaces. Along the way, we also provide a condition for the complete hyperbolicity of all $n$-fold symmetric products of a non-compact Riemann surface.

研究の動機と目的

• 非コンパクトなリーマン面の対称積の間のproperな正則写像の構造を調査すること。
• 有界な平面領域およびコンパクトなリーマン面に対して知られている剛性結果を非コンパクトな設定へと拡張すること。
• 非コンパクトなリーマン面の対称積がt候またはKobayashi完備であるための条件を確立すること。
• 任意の対称積間のproperな正則写像が、因子上のproperな写像によって誘導されることを証明すること。
• コンパクトなリーマン面における剛性結果（Fact 1.2）の非コンパクトな類似を、対称積設定において提供すること。

提案手法

• Remmert–Steinの定理の使用および平均値不等式と部分列収束（解析的要素 i および ii）による適応。
• 対称積写像 $\pi_{\mathrm{Sym}}$ の局所的逆写像を用いて、写像 $F: X \to \mathrm{Sym}^n(Y)$ の局所的リフトを $Y^n$ に構成すること。
• リーマンの除去特異点定理を適用して、積領域上のmeromorphicな写像を正則写像へと拡張すること。
• モノドロミーと恒等定理を用いて、局所的リフトを、各 $j$ 番目の座標にのみ依存する全局的写像 $F_j: X_j \to Y$ に全球的に拡張すること。
• $Y$ の双曲性および $Y$ のコンパクト化への双曲的埋め込みを活用して、$X \setminus E$ から $X_j$ への写像 $\tilde{F}_j$ の拡張を行うこと。
• 元の写像 $F$ のproper性と $F_j$ の連続性から、得られた写像 $F_j$ がproperであることを確立すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有界な平面領域の対称積間のproperな正則写像の剛性は、非コンパクトなリーマン面へと拡張可能か？
• RQ2 非コンパクトなリーマン面にどのような条件を課すと、その対称積がt候またはKobayashi完備になるか？
• RQ3 非コンパクトなリーマン面の対称積間の任意のproperな正則写像は、対応する基底面間のproperな写像によって誘導されるか？
• RQ4 特にリーマン–フルイツの公式や種数制約を鑑みた場合、このような写像の構造はコンパクトな場合とどのように異なるか？
• RQ5 平面領域に用いられた解析的技法は、$C^2$-滑らかな境界をもつ一般の非コンパクトなリーマン面へと適応可能か？

主な発見

• $C^2$-滑らかな境界をもつ連結な境界付きリーマン面 $X$ の $n$ 重対称積 $\mathrm{Sym}^n(X)$ は、すべての $n \geq 2$ に対してKobayashi完備であり、したがってt候である。
• 各 $X_j$ がコンパクト面から非空で非離散な集合を除いて得られる非コンパクトなリーマン面であり、$Y$ が $C^2$-滑らかな境界をもつ境界付きリーマン面であるとき、任意のproperな正則写像 $F: X_1 \times \cdots \times X_n \to \mathrm{Sym}^n(Y)$ は、あるproperな正則写像 $F_j: X_j \to Y$ に対して $F = \pi_{\mathrm{Sym}} \circ (F_1, \dots, F_n)$ と因数分解可能である。
• $F_j$ は $X_j$ の $j$ 番目の座標にのみ依存し、因数分解は $F_j$ の順列を除いて一意的である。
• $F$ のproper性と $F_j$ の連続性から、拡張後に各 $F_j$ がproperであることが従う。
• この結果は、コンパクトなリーマン面における剛性結果（Fact 1.2）の非コンパクトな類似を提供し、非コンパクトな設定へと現象を拡張する。
• $X$ が $C^2$-滑らかな境界をもつ連結な境界付きリーマン面であるとき、すべての $n \geq 2$ に対して対称積 $\mathrm{Sym}^n(X)$ は完全に双曲的（Kobayashi完備）である。