[論文レビュー] Proper metrics on locally compact groups, and proper affine isometric actions on Banach spaces

Uffe Haagerup, Agata Przybyszewska|ArXiv.org|Jun 30, 2006

Advanced Operator Algebra Research参考文献 13被引用数 19

ひとこと要約

本稿では、局所コンパクトかつ第二可算な群が、その位相を生成するproperな左不変距離（plig距離）を備え、球の成長が指数関数的に制御可能であることを確立している。この距離により、反射的かつ厳密凸なバナッハ空間 $\bigoplus^\infty_{n=1} L^{2n}(G,\mu)$ におけるproperなアフィン等距作用が可能となり、幾何的群論を用いた粗い幾何学およびノヴィコフ予想の研究が進展する。主な貢献は、このような群がこのバナッハ空間への一様埋め込みを構成することにあり、これは粗い幾何学的およびノヴィコフ予想の理解を深める上で重要である。

ABSTRACT

In this article it is proved, that every locally compact second countable group has a left invariant metric d, which generates the topology on G, and which is proper, ie. every closed d-bounded set in G is compact. Moreover, we obtain the following extension of a result due to N. Brown and E. Guentner: Every locally compact second countable $G$ admits a proper affine action on the reflexive and strictly convex Banach space $\bigoplus^{\infty}_{n=1} L^{2n}(G, dμ),$ where the direct sum is taken in the $l^2$-sense.

研究の動機と目的

• 局所コンパクトかつ第二可算な群が、その位相を生成するproperな左不変距離（plig距離）を備えることを証明すること。
• ブラウンとゲントナーの離散群に関する結果を、一般の局所コンパクト第二可算群へと拡張し、反射的かつ厳密凸なバナッハ空間へのproperなアフィン等距作用を構成すること。
• このような群が、$\bigoplus^\infty_{n=1} L^{2n}(G,\mu)$ の形をしたバナッハ空間への一様埋め込みを有することを確立すること。これは粗い幾何学およびノヴィコフ予想において本質的である。
• 構成されたplig距離における $d$-球の成長が指数関数的に制御可能であること、すなわち、定数 $\alpha, \beta$ に対して $\mu(B_d(e,n)) \leq \beta \cdot e^{\alpha n}$ が成り立つことの証明。
• 幾何学的および関数解析的道具を用いて、一様埋め込みおよび粗い不変量に関する結果を一般の局所コンパクト群へと拡張する枠組みの提供。

提案手法

• 局所コンパクトかつ第二可算な群 $G$ に、閉有界集合がコンパクトとなる左不変距離 $d$ を構成し、propernessを保証する。
• 関数 $\phi_e^n(x) = \max\left(0, 1 - \frac{d(x,e)}{n}\right)$ を定義する。これらは一様連続的であり、コンパクトな台を持つ。
• 関数 $\phi_e^n$ を用いて、$L^{2n}(G,\mu)$ 上の正則表現における1-コサイクル $b^n(g) = \lambda(g)\phi_e^n - \phi_e^n$ を定義する。
• バナッハ空間 $X = \bigoplus^\infty_{n=1} L^{2n}(G,\mu)$ を $l^2$-意味で定義し、反射性および厳密凸性を保証する。
• アフィン作用 $\alpha(g)\xi = \tilde{\lambda}(g)\xi + b(g)$ を構成し、ここで $b(g) = \oplus b^n(g)$ である。コサイクル条件 $b(st) = \tilde{\lambda}(s)b(t) + b(s)$ の検証を行う。
• ハール測度の球における指数的成長制御を用いて、$d(g,e) \to \infty$ のとき $||b(g)||_X \to \infty$ を示すことで、作用のmetric propernessを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の局所コンパクトかつ第二可算な群は、その位相を生成するproperな左不変距離を備えるか？
• RQ2 このような群に対して、反射的かつ厳密凸なバナッハ空間へのproperなアフィン等距作用を構成できるか？
• RQ3 このような群が、$\bigoplus^\infty_{n=1} L^{2n}(G,\mu)$ の形をしたバナッハ空間への一様埋め込みを有するか？
• RQ4 このような埋め込みを構成するにあたり、$d$-球の成長の指数的制御が果たす役割は何か？
• RQ5 このような距離および作用の存在が、粗い不変量およびノヴィコフ予想とどのように関係しているか？

主な発見

• 任意の局所コンパクトかつ第二可算な群は、その位相を生成するproperな左不変距離（plig距離）を備える。
• 構成されたplig距離は、ある $\alpha, \beta > 0$ に対して $\mu(B_d(e,n)) \leq \beta \cdot e^{\alpha n}$ を満たし、ハール測度の球における成長が指数関数的に制御可能であることが保証される。
• 反射的かつ厳密凸なバナッハ空間 $X = \bigoplus^\infty_{n=1} L^{2n}(G,\mu)$ におけるproperなアフィン等距作用が存在する。
• コサイクル構成により定義される写像 $b: G \to X$ は一様埋め込みであり、十分大きな $d(g,h)$ に対して $c_1 \sqrt{d(g,h)} \leq ||b(g) - b(h)||_X \leq c_2 d(g,h)$ を満たす。
• 作用はmetrically properである。これは、$d(g,e) \to \infty$ のとき $||b(g)||_X \to \infty$ となることから生じる。その理由は、$n$ が大きく $d(g,e)$ が大きいとき、$\phi_e^n$ と $\phi_g^n$ が台を互いに素にするためである。
• 本構成は、ブラウンとゲントナーの離散群に関する結果を、すべての局所コンパクト第二可算群へと一般化し、分離可能で厳密凸なバナッハ空間への一様埋め込みを提供する。