[論文レビュー] Properties and Application of Nondeterministic Quantum Query Algorithms

Alina Dubrovska|arXiv (Cornell University)|Jun 30, 2006

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、非決定的量子計算を拡張する新しいモデルである二重非決定的量子クエリアルゴリズムを導入する。Controln関数に関して、二重非決定的アルゴリズムは定数2クエリの複雑さを達成するが、古典的決定的複雑さはnであるため、n 対 2 の最大のギャップを示す。本研究は、正確、非決定的、および二重非決定的クエリ複雑さの理論的関係を確立する。

ABSTRACT

Many quantum algorithms can be analyzed in a query model to compute Boolean functions where input is given by a black box. As in the classical version of decision trees, different kinds of quantum query algorithms are possible: exact, zero-error, bounded-error and even nondeterministic. In this paper, we study the latter class of algorithms. We introduce a fresh notion in addition to already studied nondeterministic algorithms and introduce dual nondeterministic quantum query algorithms. We examine properties of such algorithms and prove relations with exact and nondeterministic quantum query algorithm complexity. As a result and as an example of the application of discovered properties, we demonstrate a gap of n vs. 2 between classical deterministic and dual nondeterministic quantum query complexity for a specific Boolean function.

研究の動機と目的

• 新しいクラスの量子クエリアルゴリズム、すなわち二重非決定的量子クエリアルゴリズムを形式的に定式化し、分析すること。
• 二重非決定的、正確、および標準非決定的量子クエリ複雑さの理論的関係を確立すること。
• 特定の関数に対して、線形の古典的決定的クエリを要するが、定数クエリ複雑性を持つ明示的なアルゴリズムを構築することで、新モデルの力を示すこと。
• 古典的決定的クエリ複雑さが入力サイズに比例して増加する一方で、二重非決定的量子クエリ複雑さが定数となるような新しいブール関数を同定・分析すること。

提案手法

• 標準非決定的量子クエリアルゴリズムを拡張する新しいモデルとして、二重非決定的量子クエリアルゴリズムを導入する。
• ユニタリ変換とクエリ操作を量子クエリモデルで用い、測定結果が関数の出力を決定する。
• 部分関数（例：PARITY）の正確量子アルゴリズムの構造を応用し、論理的分解を用いて二重非決定的アルゴリズムを構築する。
• Controln関数を、否定されたパリティ関数を含む論理形式に変換し、効率的な量子構築を可能にする。
• アダマールゲートと振幅操作を用いて、2回のクエリで正しい関数評価が可能な重ね合わせ状態を生成する。
• 正確クエリ複雑さと非決定的クエリ複雑さの関係を示す定理を用いて、二重非決定的アルゴリズムの存在を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 新しいクラスの量子クエリアルゴリズム、すなわち二重非決定的アルゴリズムを形式的に定義し、標準非決定的モデルと区別できるか？
• RQ2 二重非決定的、正確、および標準非決定的量子クエリ複雑さの理論的関係は何か？
• RQ3 二重非決定的アルゴリズムは、特定の関数に対して古典的決定的アルゴリズムよりも著しく低いクエリ複雑さを達成できるか？
• RQ4 入力サイズが増加するにつれて古典的決定的複雑さが線形に増加するが、二重非決定的量子クエリ複雑さが定数となるようなブール関数は存在するか？

主な発見

• Controln関数に対して、nにかかわらず2クエリで動作する二重非決定的量子クエリアルゴリズムが存在する。
• Controlnの古典的決定的クエリ複雑さはnであり、古典的と二重非決定的量子複雑さの間で最大のn 対 2 のギャップが確立される。
• 本論文は、二重非決定的クエリ複雑さが、部分関数の正確クエリ複雑さの最大値によって上限づけられることを証明しており、定理6で形式化されている。
• 関数Controlnは、最初の半分の各ビットが、2番目の半分の対応するビットをXORで制御するように構築されており、コンパクトな量子表現を可能にする。
• Controlnの二重非決定的アルゴリズムは、否定されたパリティ関数への分解を用いて構築されており、PARITYの既知の正確量子アルゴリズムを活用している。
• 本論文は、特定の関数に対して、二重非決定的モデルが古典的決定的モデルに対して指数的スピードアップを達成できることを示している。