[論文レビュー] Properties D and aD are different

Dániel T. Soukup|arXiv (Cornell University)|Feb 12, 2010

Advanced Topology and Set Theory参考文献 4被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、$(\natural^{*})$ の下で、性質 aD が性質 D を含意しないことを示す一貫した反例を構成する。$\omega_1$ の濃度を持ち、局所的可算、局所的コンパクト、0次元の $T_2$ 空間として、aD ではあるが線形的 D ではないものである。構成には推測列と MAD 集合族が用いられ、すべての閉部分空間が非可約（したがって aD）であることを保証するとともに、特定の単調な開被覆に対して核を避けることで、線形的 D でないことを保証する。これにより、アーリャンゲリスキーとグォ・ジュンニラの長年の懸案が解決される。

ABSTRACT

Under $(\diamondsuit^*)$ we construct a locally countable, locally compact, 0-dimensional $T_2$ space $X$ of size $\omg$ which is aD however not even linearly D. This consistently answers a question of Arhangel'skii, whether aD implies D. Furthermore we answer two problems concerning characterization of linearly D-spaces, raised by Guo and Junnila.

研究の動機と目的

• アーリャンゲリスキーの問題（aD が D を含意するか？）を、一貫した反例を構成することで解決すること。
• グォとジュンニラが提起した線形的 D 空間の特徴付けに関する2つの問題に否定的な答えを与えること。
• ZFC において aD から線形的 D への含意が証明できないこと、およびこのような空間が CH とは独立して存在可能であることを示すこと。
• 局所的可算、局所的コンパクト、aD だが線形的 D でない空間の存在が ZFC とは独立であることを示すこと。

提案手法

• 各 $\alpha < \omega_1$ に対して、$X = \omega_1 \times 2$ に、$\{0\}$ における離散点と、各 $(\alpha,1)$ における特定の近傍基 $M_{\alpha}^\beta$ を用いた位相を組み合わせて構成する。
• 各 $\alpha < \omega_1$ に対して $\omega_1$ 上の最大几乎互いに素（MAD）族 $\mathcal{M}_\alpha$ を用いて、収束および蓄積の挙動を定義する。
• $(\natural^{*})$ を用いて、クラブ集合と静的集合の列を構成し、開被覆の挙動を制御し、大きな閉離散集合が存在しないことを保証する。
• すべての閉部分空間が非可約であることを示すことで、可算個の閉離散集合の和集合が D 空間であることを示し、非可算な射影が $X_{\alpha}$ において完全に蓄積されることを示す。
• 最小の修正を用いた開被覆の精製により、非可算射影を持つ閉集合の非可約性を示し、静的集合とクラブ集合を用いて被覆の制御を行う。
• マーティンの選言公理の下でバログの定理を適用し、小規模で局所的可算かつ局所的コンパクトな空間において D と aD が同値であることを示し、独立性に関する結果を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての aD 空間は性質 D を満たすか？（アーリャンゲリスキーの問題 4.6）
• RQ2 $T_1$ 空間 $X$ に対して、すべての非可算な正則基数の濃度を持つ部分集合 $A$ が完全蓄積点をもつ、または $|A|$ 個の閉離散部分集合をもつならば、$X$ は線形的 D か？（グォとジュンニラの問題 2.5）
• RQ3 $T_1$ 空間 $X$ が、すべての非可算な正則基数 $A$ に対して、$A$ が完全蓄積点をもつ、または $\overline{A}$ が $|A|$ 個の閉離散部分集合を含むならば、$X$ は線形的 D か？（グォとジュンニラの問題 2.6）
• RQ4 ZFC において、Tychonoff 空間で aD だが線形的 D でない例は存在するか？
• RQ5 局所的可算、局所的コンパクト、aD だが線形的 D でない空間の存在は ZFC とは独立か？

主な発見

• $(\natural^{*})$ の下で、局所的可算、局所的コンパクト、0次元の $T_2$ 空間 $X$ が存在し、$|X| = \omega_1$ であり、aD ではあるが線形的 D でない。
• 定義された位相を備えた空間 $X = \omega_1 \times 2$ は D 空間である。なぜなら、閉離散集合と D 部分空間の和集合であるからである。
• $\omega_1 \times \{0\}$ の非可算部分集合のすべては、$X$ 内で閉離散部分集合を持たず、すべての部分集合が蓄積点を持つため、$X$ はグォとジュンニラの条件 $(*)$ を満たさない。
• $X$ のすべての閉部分空間は非可約であるため、定理 2.2 より $X$ は aD である。これにより、aD が D を含意しないことが確認される。
• 空間 $X$ は、単調被覆 $\{X_{<\alpha} : \alpha < \omega_1\}$ に対して $\mathcal{U}$-大きい閉離散集合をもたないため、線形的 D でない。
• このような空間の存在は ZFC とは独立である。$(\natural^{*})$ の下での一貫性結果と、$|X| < 2^{\omega}$ であるような空間の存在が ZFC で独立であることを示す。