[論文レビュー] Properties of 1D classical and quantum Ising quasicrystals: rigorous results

William Yessen|arXiv (Cornell University)|Mar 10, 2012

Quasicrystal Structures and Properties参考文献 65被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、フィボナッチ代入列による準周期的相互作用を有する1次元古典的・量子スピンモデルを厳密に検討する。トレース写像形式およびスペクトル理論を用いて、量子系ではエネルギー準位が多分形（カントール型）であることを証明し、古典的系では自由エネルギーの解析性およびリー＝ヤン零点のカントール集合的構造を確立する。これにより、相転移の不在が確認され、先行する数値的観察が裏付けられる。

ABSTRACT

In this paper we consider one-dimensional classical and quantum spin-1=2 quasiperiodic Ising chains, with two-valued nearest neighbor interaction modulated by a Fibonacci substitution sequence on two letters. In the quantum case, we investigate the energy spectrum of the Ising Hamiltonian, in presence of constant transverse magnetic field, by employing the techniques that were developed in our previous work. In the classical case, we investigate and prove analyticity of the free energy function when the magnetic field, together with interaction strength couplings, is modulated by the same Fibonacci substitution (thus proving absence of phase transitions of any order at finite temperature). We also investigate the distribution of Lee-Yang zeros of the partition function in the complex magnetic field regime, and prove its Cantor set structure (together with some additional qualitative properties), thus providing a rigorous justification for the observations in some previous works. In both, quantum and classical models, we concentrate on the ferromagnetic class.

研究の動機と目的

• フィボナッチ変調された相互作用を有する1次元量子イジングスピン鎖におけるエネルギー準位の多分形構造を厳密に確立すること。
• 準周期的結合および磁場を有する古典的イジングスピン鎖における自由エネルギー関数の解析性を証明し、有限温度における相転移の不在を示すこと。
• 複素磁場平面におけるリー＝ヤング零点の分布を、ギャップ構造を持つカントール集合として特徴付けること。
• 古典的および量子モデルの両方において、フィボナッチ代入列のハル上での特定の列の選択に依存しないスペクトルの不変性を示すこと。
• トレース写像力学系を用いて、先行する数値的およびヒューリスティックな結果を数学的に厳密な枠組みに拡張すること。

提案手法

• 3次元複素多様体上の解析的写像としてのトレース写像形式を用い、移行行列の力学的挙動を研究すること。
• 先行研究で開発されたスペクトル理論的手法を用いて、量子イジングハミルトニアンをジャコビ行列に写像し、スペクトル性質を分析すること。
• 古典的モデルにおいて、GL(2,R)コセットのリャプノフ指数理論を用いて、自由エネルギーと力学的不変量との関係を確立すること。
• 移行行列技法を用いて、スピン配置上での分配関数を行列積のトレースとして表現すること。
• 帰納的証明を用いて、周期的および反周期的境界条件を考慮したNステップ移行行列の構造を確立すること。
• フィボナッチ列のハル上でのシフト写像の不変性を活用し、スペクトル的および熱力学的量の不変性を導出すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フィボナッチ変調された相互作用を有する1次元量子イジング鎖のエネルギー準位は、多分形構造を示すか？
• RQ2 準周期的結合および磁場を有する古典的イジング鎖において、自由エネルギー関数は解析的か。これにより、有限温度におけるいかなる位相転移の不在が保証されるか？
• RQ3 このような準周期的モデルにおける複素磁場平面におけるリー＝ヤング零点の位相的構造は何か？
• RQ4 フィボナッチ代入列のハル上から選ばれた特定の列に依存しない、スペクトル的および熱力学的性質は成立するか？
• RQ5 エネルギー準位およびリー＝ヤング零点のカントール型構造は、トレース写像法を用いて厳密に証明可能か？

主な発見

• フィボナッチ変調結合を有する量子イジング模型のエネルギー準位は、多分形であることが証明され、先行の予想および数値的観察が裏付けられ、拡張された。
• 古典的イジング模型における自由エネルギー関数は、熱力学的極限において解析的であり、有限温度における任意の位相転移の不在を示唆する。
• 分配関数のリー＝ヤング零点は、準周期的シュレーディンガー作用素で研究されたものと類似したギャップ構造を持つカントール集合を形成する。
• スペクトルおよび自由エネルギーは、フィボナッチ代入列のハル内での列の選択に依存せず、一意的エルゴード性およびスペクトル不変性に起因する。
• 古典的系において、関連するGL(2,R)コセットのリャプノフ指数は自由エネルギーに等しくなる。これは力学系の解釈を提供する。
• 分配関数は、系サイズに関する帰納法を用いて、明示的な行列構造を伴う移行行列積のトレースとして厳密に表現された。