[論文レビュー] Properties of a fractional derivative Schroedinger type wave equation and a new interpretation of the charmonium spectrum

Richard Herrmann|ArXiv.org|Oct 31, 2005

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 1被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、クォーカー状態のスペクトルをモデル化するために、カプートー微分を用いた分数階微分シュレーディンガー型波動方程式を提案する。このモデルでは、クォーカーの閉じ込めとSU(3)対称性が自然に出現することを示している。このモデルは、charm状態の質量を0.1%未満の誤差で再現し、X(4965)を含む3つの新しい状態を予測しており、Σc⁰(2455)の半径推定値は約0.3 fmである。

ABSTRACT

Based on the Caputo fractional derivative the classical, non relativistic Hamiltonian is quantized leading to a fractional Schroedinger type wave equation. The free particle solutions are localized in space. Solutions for the infinite well potential and the radial symmetric ground state solution are presented. It is shown, that the behaviour of these functions may be reproduced with a ordinary Schroeodinger equation with an additional potential, which is of the form V ~ x for $α<1$, corresponding to the confinement potential, introduced phenomenologically to the standard models for non relativistic interpretation of quarkonium-spectra. The ordinary Schroedinger equation is triple factorized and yields a fractional wave equation with internal SU(3) symmetry. The twofold iterated version of this wave equation shows a direct analogy to the fractional Schroedinger equation derived. The angular momentum eigenvalues are calculated algebraically. The resulting mass formula is applied to the charmonium spectrum and reproduces the experimental masses with an accuracy better than 0.1%. Extending the standard charmonium spectrum, three additional particles are predicted and associated with $Σ_c^0(2455)$ and Y(4260) observed recently and one X(4965), not yet observed. The root mean square radius for $Σ_c^0(2455)$ is calculated to be ~0.3[fm]. The derived results indicate, that a fractional wave equation may be an appropriate tool for a description of quark-like particles.

研究の動機と目的

• 非相対論的量子系を対象とする、カプートー分数階微分積分法に基づく分数階微分シュレーディンガー型波動方程式の構築を目的とする。
• 分数階微分が、物理的補正ポテンシャルを導入せずにもクォーカー状態の閉じ込めを自然に説明できるかどうかを検討すること。
• 実験的charm状態スペクトルを高い精度で再現できる質量公式の導出を目的とする。
• 標準のcharm状態モデルに含まれない新たなハドロン状態の予測、特にX(4965)を含むこと。
• 分数階波動方程式の枠組みを用いて、Σc⁰(2455)バリオンの二乗平均半径の推定を行うこと。

提案手法

• α ∈ ℝ₊ に対して D_i = ∂_i^α と定義されるカプートー分数階微分作用素を用いて、古典的非相対論的ハミルトニアンを正準化する。
• 自由粒子、無限大ポテンシャル井戸、および分数階波動方程式における球対称基底状態の厳密解の導出。
• 通常のシュレーディンガー方程式の三重因子分解を用いて、内部にSU(3)対称性を持つ分数階波動方程式を生成する。
• SO^α(3)における一般化された角運動量代数を用いて多重項を分類し、Casimir作用素を計算する。
• エネルギー固有値から導出された質量公式を用いて、分数階波動方程式をcharm状態スペクトルに適用する。
• α = 2/3 のとき、立方体および球対称の無限大井戸における波動関数を用いて、二乗平均半径の期待値を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 カプートー微分に基づいて導出された分数階微分シュレーディンガー方程式は、実験的charm状態スペクトルの質量を高い精度で再現できるか？
• RQ2 分数階波動方程式は、物理的補正ポテンシャルを導入せずに自然に閉じ込め効果を生じさせるか？
• RQ3 分数階波動方程式の枠組みにおいてSU(3)対称性は果たす役割は何か？また、クォーク模型の多重項とどのように関係するか？
• RQ4 分数階波動方程式は、標準のcharm状態モデルに含まれない新たなハドロン状態を予測できるか？
• RQ5 この分数階量子力学的枠組み内において、Σc⁰(2455)バリオンの二乗平均半径の推定値は何か？

主な発見

• α ≈ 2/3 の分数階シュレーディンガー方程式は、実験的charm状態スペクトルの質量を0.1%未満の精度で再現する。
• 無限大井戸および自由粒子の解は局在性を示し、これは閉じ込め効果が分数階微分構造そのものから自然に生じることを示している。
• α = 2/3 のとき、波動方程式は内部に固有のSU(3)対称性を有しており、これは通常のシュレーディンガー方程式の三重因子分解に対応する。
• 3つの新しい粒子が予測される：Σc⁰(2455)およびY(4260)に関連する2つと、予測質量が4965 ± 10 MeVのX(4965)とラベルされた1つ。
• Σc⁰(2455)の二乗平均半径は <r> ≈ 0.3 fm と推定され、これはcharm状態モデルの予測と整合的である。
• 分数階波動方程式は、便宜的なポテンシャルを導入せずに、スペクトルと空間的サイズの両方を再現する統一的な枠組みを提供する。