[論文レビュー] Properties of Expectations of Functions of Martingale Diffusions

George Lowther|ArXiv.org|Jan 2, 2008

Stochastic processes and financial applications参考文献 5被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、マルティングール拡散の関数の条件付き期待値が、ペイオフ関数 g から、単調性、リプシッツ連続性、および凸性といった主要な解析的性質を継承することを確立する。一般化された『ほぼ連続拡散』と呼ばれるプロセスのクラスを用いて、著者らは f(t,x) = E[g(X_T)|F_t] が X の周辺分布の上での連続性を示し、g が単調性および凸性をもつ場合、滑らかさの仮定を必要とせず、カップリング技術と強マルティンゲール性の経路的解析によりそれらの性質を継承することを証明する。

ABSTRACT

Given a real valued and time-inhomogeneous martingale diffusion X, we investigate the properties of functions defined by the conditional expectation f(t,X_t)=E[g(X_T)|F_t]. We show that whenever g is monotonic or Lipschitz continuous then f(t,x) will also be monotonic or Lipschitz continuous in x. If g is convex then f(t,x) will be convex in x and decreasing in t. We also define the marginal support of a process and show that it almost surely contains the paths of the process. Although f need not be jointly continuous, we show that it will be continuous on the marginal support of X. We prove these results for a generalization of diffusion processes that we call `almost-continuous diffusions', and includes all continuous and strong Markov processes.

研究の動機と目的

• X がマルティングール拡散であるとき、条件付き期待値 f(t,x) = E[g(X_T)|F_t] が g から単調性、リプシッツ連続性、および凸性を継承することを確立すること。
• 伊藤拡散を超える一般化を図るため、「ほぼ連続拡散」と呼ばれるクラスを導入する—これは連続的で、経路的にほぼ連続性を満たす強マルティンゲール過程を含む。
• f(t,x) が、どこでも連続でない場合でも、X の周辺分布上では一様連続であることを示すこと。
• 確率微分方程式の係数が滑らかまたは微分可能でない場合に、PDE や確率フローに依存せずに、f(t,x) の正則性をカップリングに基づく経路的証明で示すこと。

提案手法

• 『ほぼ連続拡散』を、経路的にほぼ連続性を満たす強マルティンゲール過程として定義する：独立同一分布に従う2つのコピーは、0に到達しないまま交差することはできない。
• 周辺分布 MSupp(X) を、X_t の分布の台に x が属するような (t,x) の集合として定義する。
• X の独立同一分布に従うコピー Y と Z の間のカップリングを用いて、経路の挙動を分析し、f(t,x) = E[g(X_T)|F_t] の性質を導出する。
• デビュー定理と可測性の議論を用いてジャンプ挙動を制御し、0に到達しないまま交差する事象の確率が0であることを示す。
• 強マルティンゲール性を活用して、条件付き期待値を可測関数 f(t,x) として表現し、その正則性を分析する。
• 経路的比較と台の議論を用いて、f が MSupp(X) 上で連続であることを示し、他の場所では一様連続でない場合でも成立することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 X がマルティングール拡散であるとき、f(t,x) = E[g(X_T)|F_t] が g から単調性を継承するための条件は何か？
• RQ2 拡散係数 σ(t,x) の滑らかさを仮定しない場合でも、f(t,x) の凸性および単調性をどのように確立できるか？
• RQ3 f(t,x) は、一様連続でない場合でも、X の周辺分布上では連続であるか？
• RQ4 経路的ほぼ連続性（ほぼ連続性）条件は、周辺分布の構造および f の正則性にどのように関係するか？
• RQ5 PDE や確率フローに依存せずに、カップリング技法を用いて f(t,x) の正則性を証明できるか？

主な発見

• g が単調増加であれば、任意のマルティングール拡散 X に対して、f(t,x) は x に関して単調増加である。
• g がリプシッツ連続であれば、生成子の滑らかさの仮定がなくても、f(t,x) は x に関してリプシッツ連続である。
• g が凸であれば、f(t,x) は x に関して凸であり、t に関して減少する。これはブラック・ショールズや指数レビ過程モデルにおける既知の結果を拡張する。
• f(t,x) は、周辺分布 MSupp(X) 上で一様連続であり、X のパスがほとんど確実にその中に含まれる。
• 周辺分布 MSupp(X) は、X の有限次元分布の台によって定義されるボレル集合である。
• ほぼ連続拡散のクラスには、連続拡散、ポアソン過程、および有限次元分布における収束下での連続拡散の極限が含まれる。