[論文レビュー] Properties of ground states of attractive Gross-Pitaevskii equations with multi-well potentials

Yujin Guo, Zhi-Qiang Wang+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 6, 2015

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 15被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、多穴ポテンシャルを有する2次元吸引的Gross-Pitaevskii方程式における基底状態の濃縮および爆発挙動を調査する。変分法と漸近解析を用いて、吸引的相互作用強度 $a$ が臨界値 $a^*$ に近づく際、基底状態が最大内接円半径を有する領域の中心に濃縮・爆発することを証明し、スケーリングとエネルギー推定を用いて正確な爆発速度の見積もりを導出する。

ABSTRACT

We are interested in the attractive Gross-Pitaevskii (GP) equation in $\R^2$, where the external potential $V(x)$ vanishes on $m$ disjoint bounded domains $Ω_i\subset \R^2\ (i=1,2,\cdots,m)$ and $V(x) o\infty$ as $|x| o\infty$, that is, the union of these $Ω_i$ is the bottom of the potential well. By making some delicate estimates on the energy functional of the GP equation, we prove that when the interaction strength $a$ approaches some critical value $a^*$ the ground states concentrate and blow up at the center of the incircle of some $Ω_j$ which has the largest inradius. Moreover, under some further conditions on $V(x)$ we show that the ground states of GP equations are unique and radially symmetric at leat for almost every $a \in (0, a^*)$.

研究の動機と目的

• 相互作用強度 $a$ が臨界値 $a^*$ に近づく際、多穴ポテンシャルを有する吸引的Gross-Pitaevskii方程式における基底状態の爆発および濃縮挙動を理解すること。
• ほとんどすべての $a \in [0, a^*)$ に対して、制約エネルギー汎関数の最小化子とGP方程式の基底状態が等価であることを確立すること。
• ポテンシャルに対して径対称性および単調性条件が成り立つ場合、ほとんどすべての $a \in (0, a^*)$ に対して基底状態が一意的かつ径対称的であることを証明すること。
• $a \nearrow a^*$ の際の基底状態の正確な漸近的爆発速度を導出すること、特にスケーリングパラメータと $|\ln(a^* - a)|$ の関係を明らかにすること。
• スケーリングされた基底状態の極限的プロファイルが、$H^1(\mathbb{R}^2)$ 上で強収束し、極限非線形スカラー場方程式 $-\Delta u + u - u^3 = 0$ のスケーリングされた基底状態解に収束することを示すこと。

提案手法

• エネルギー汎関数 $E_a(u)$ を $L^2$ ノルム制約の下で最小化する制約変分問題としてGP方程式を定式化し、そのEuler-Lagrange方程式として定式化する。
• 最小化子の存在の閾値として、$a^* = \|Q\|_{L^2}^2$ を用いる。ここで $Q$ は $\mathbb{R}^2$ で $-\Delta Q + Q - Q^3 = 0$ を満たす。
• スケーリング技術を適用する：$\varepsilon_k = |\ln(a^* - a_k)|^{-1}$ を定義し、基底状態 $u_k$ を $\bar{w}_k(x) = \varepsilon_k u_k(\bar{z}_k + \varepsilon_k x)$ にスケーリングすることで、$\mathbb{R}^2$ 上の極限問題に変換する。
• Gagliardo-Nirenberg不等式を用いて $L^4$ ノルムを制御し、エネルギー $e(a_k)$ を $a^* - a_k$ および $|\ln(a^* - a_k)|$ の関数として下界を導出する。
• エネルギー分解とバリア型推定を用いて、基底状態の質量が内接円半径が最大の領域の重心の近傍で収縮することを示す。
• 背理法と漸近解析を用いて、正確な爆発速度 $\varepsilon_k |\ln(a^* - a_k)| \to 2R$ を導出する。ここで $R$ は最大内接円半径を有する領域の内接円半径である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 相互作用強度 $a$ が臨界値 $a^*$ に近づく際、吸引的Gross-Pitaevskii方程式の基底状態はどのように振る舞うか？
• RQ2 多穴ポテンシャルの井戸の中から、爆発極限における基底状態の濃縮を支配する領域はどれか？
• RQ3 ポテンシャル $V(x)$ にどのような条件下で基底状態が一意的かつ径対称的となるか？
• RQ4 $a \nearrow a^*$ の際、基底状態の正確な漸近的爆発速度は何か？
• RQ5 スケーリングされた基底状態の極限的プロファイルは何か？また、極限非線形方程式のソリタリーモード解とどのように関係するか？

主な発見

• $a \nearrow a^*$ の際、基底状態は内接円半径 $R_j$ が最大である領域 $\Omega_j$ の中心に濃縮・爆発する。
• 爆発速度は $\varepsilon_k |\ln(a^* - a_k)| \to 2R$ で特徴づけられ、ここで $R$ は最大内接円半径を有する領域の内接円半径である。
• スケーリングされた基底状態 $\frac{2R}{|\ln(a^* - a_k)|} u_k(\bar{z}_k + \frac{2R}{|\ln(a^* - a_k)|} x)$ は、$H^1(\mathbb{R}^2)$ 上で強収束し、$\frac{Q(x)}{\sqrt{a^*}}$ に収束する。ここで $Q$ は $-\Delta Q + Q - Q^3 = 0$ を満たす。
• エネルギー $e(a_k)$ は、$a_k \nearrow a^*$ の際、$e(a_k) \geq \frac{1+o(1)}{a^* [2(1+\sigma)r_2]^2} (a^* - a_k) |\ln(a^* - a_k)|^2$ を満たす。ここで $r_2 \to R$ である。
• ほとんどすべての $a \in [0, a^*)$ に対して、エネルギー汎関数 $e(a)$ の最小化子はGP方程式の基底状態に一致する。すなわち $\Lambda_a = G_{a,\mu_a}$ である。
• $V(x)$ が径対称的かつ単調である条件の下で、ほとんどすべての $a \in (0, a^*)$ に対して基底状態は一意的かつ径対称的である。