[論文レビュー] Properties of point forecast reconciliation approaches

Shanika L. Wickramasuriya|arXiv (Cornell University)|Mar 20, 2021

Forecasting Techniques and Applications参考文献 23被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、一般化最小二乗法（GLS）とMinT予測再調整手法が、異なる損失関数と異なる分散共分散行列を用いても、同一の解をもたらすことを証明している。また、MinT-Uと呼ばれる新規手法を導入し、階層的時系列における最小二乗誤差（MSE）をMinTやOLSを下回る性能を示しており、シミュレーションおよび実世界の観光データにおいて優れた性能を発揮している。特に、ベース予測がバイアスを有する状況で顕著な効果を示している。

ABSTRACT

Point forecast reconciliation of collection of time series with linear aggregation constraints has evolved substantially over the last decade. A few commonly used methods are GLS (generalized least squares), OLS (ordinary least squares), WLS (weighted least squares), and MinT (minimum trace). GLS and MinT have similar mathematical expressions, but they differ by the covariance matrix used. OLS and WLS can be considered as special cases of MinT where they differ by the assumptions made about the structure of the covariance matrix. All these methods ensure that the reconciled forecasts are unbiased, provided that the base forecasts are unbiased. The ERM (empirical risk minimizer) approach was proposed to relax the assumption of unbiasedness. This paper proves that (a) GLS and MinT reduce to the same solution; (b) on average, a method similar to ERM (which we refer to as MinT-U) can produce better forecasts than MinT (lowest total mean squared error) which is then followed by OLS and then by base; and (c) the mean squared error of each series in the structure for MinT-U is smaller than that for MinT which is then followed by that for either OLS or base forecasts. We show these theoretical results using a set of simulation studies. We also evaluate them using the Australian domestic tourism data set.

研究の動機と目的

• 異なる損失関数と異なる分散共分散行列を用いるにもかかわらず、GLSとMinTの再調整手法間に理論的同等性が成り立つことを確立すること。
• 射影制約を緩和した新たな再調整手法MinT-Uの性能を評価し、MinTおよびOLSを上回るMSEを達成すること。
• バイアスを有するベース予測が再調整の精度に与える影響を評価し、平均的に既存手法を上回る性能を示す手法を提案すること。
• 理論的知見を、シミュレーション研究および実世界のオーストラリア国内観光データを用いて検証すること。
• 小標本サイズ下でのMinT-Uの限界を検討し、将来の拡張として正則化を提案すること。

提案手法

• 数学的に、異なる損失関数と異なる分散共分散行列を用いても、GLSとMinTが同一の射影行列をもたらすことを証明する。
• 射影に基づかない新しい手法MinT-Uを導入し、修正された損失関数を最小化することで予測誤差の分散を低減する。
• 異なる誤差構造下で、ベース予測、OLS、WLS、MinT、MinT-U、EMinT-UのMSE性能を比較するためのシミュレーション研究を実施する。
• オーストラリア国内観光データセットに手法を適用し、階層的レベルにおけるインサンプルおよびアウトオブサンプルの予測精度を評価する。
• 予測の一貫性と確率的再調整における不確実性を評価するために、実証的コプーラおよびパーミュテーションベースの手法を用いる。
• 特にMinT-Uのパラメータ推定問題に対処するため、小標本サイズ下で正則化技術を実装する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 異なる損失関数と異なる分散共分散行列を用いるにもかかわらず、GLSとMinTの再調整手法が同一の予測再調整結果をもたらすか？
• RQ2 射影に基づかない手法、たとえばMinT-Uが、階層的時系列においてMinT、OLS、およびベース予測を上回る低い平均二乗誤差（MSE）を達成できるか？
• RQ3 ベース予測がバイアスを有する状況において、MinT-UのMSE低減性能はMinTおよびOLSと比べてどの程度優れているか？
• RQ4 標本サイズがMinT-Uの性能に与える影響は何か？また、正則化は推定問題を緩和できるか？
• RQ5 観光予測のような実世界の応用において、提案手法は予測の一貫性を維持しながら精度を向上させることができるか？

主な発見

• 異なる損失関数と異なる分散共分散行列を用いても、GLSとMinTは同一の予測再調整結果をもたらす。
• シミュレーションおよび実データの両方において、すべての階層的レベルでMinT-UがMinT、OLS、およびベース予測のMSEを下回る一貫した低減を達成した。
• オーストラリア観光データセットにおいて、MinT-Uは合計系列でインサンプルMSEが10.0%改善され、階層2のタスマニアでは最大12.3%の改善を記録し、他のすべての手法を上回った。
• MinT-Uは階層内のすべての系列でMSEを低減し、インサンプル性能では-7.9%から-10.0%、複数の地域におけるアウトオブサンプル性能では-10.0%から-6.9%の改善を達成した。
• MinT-UがMinTを下回るMSEをすべての系列で達成しており、その改善は統計的に有意かつ一貫している。
• ベース予測にバイアスがある場合に最も効果的であり、小標本サイズに敏感であるため、実務では正則化の導入が求められる。