[論文レビュー] Properties of quantum stochastic walks from the asymptotic scaling exponent

Krzysztof Domino, Adam Glos+3 more|arXiv (Cornell University)|Nov 4, 2016

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 24被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、量子確率的ウォークのための整合性測度を、ウォークの位置の2次モーメントの漸近的スケーリング指数αを用いて導入する。μ₂(t) ∝ t^α として平均二乗変位を分析することで、球面的散乱（α = 2）が強いグローバル散乱下でも持続することを示し、Lindbladマスター方程式に従う可変な整合性-散乱パラメータωを有する一般化された量子-古典ハイブリッドモデルにおいて、量子的整合性の強靭性を示す。

ABSTRACT

This work focuses on the study of quantum stochastic walks, which are a generalization of coherent, i. e. unitary quantum walks. Our main goal is to present a measure of a coherence of the walk. To this end, we utilize the asymptotic scaling exponent of the second moment of the walk i. e. of the mean squared distance covered by a walk. As the quantum stochastic walk model encompasses both classical random walks and quantum walks, we are interested how the continuous change from one regime to the other influences the asymptotic scaling exponent. Moreover this model allows for behavior which is not found in any of the previously mentioned model -- the model with global dissipation. We derive the probability distribution for the walker, and determine the asymptotic scaling exponent analytically, showing that ballistic regime of the walk is maintained even at large dissipation strength.

研究の動機と目的

• 2次モーメントの漸近的スケーリング指数を用いた量子確率的ウォークにおける整合性の定量的測定法の開発。
• 連続的な量子ウォークから古典的ランダムウォークへの遷移が、平均二乗変位のスケーリング行動に与える影響の調査。
• 標準的な量子ウォークや古典的ウォークでは実現不可能なグローバル散乱が、ウォークの長時間ダイナミクスに与える影響の分析。
• 局所的およびグローバル散乱モデル下での確率分布および2次モーメントの解析的表現の導出。
• 球面的領域（α = 2）が高強度の散乱下でも維持されることを示し、持続的な量子的整合性を示す。

提案手法

• 本研究では、ユニタリ（ω=0）と完全に散乱的（ω=1）なダイナミクスの間を滑らかに補間する可変パラメータω ∈ [0,1]を有するLindbladマスター方程式に従う量子確率的ウォークモデルを採用する。
• 時間tの関数として2次モーメントμ₂(t) = ⟨x²⟩を計算し、μ₂(t) ∝ t^αを用いて漸近的スケーリング指数αを抽出する。
• 線分および無限直線上において、フーリエ変換および直交多項式を用いて、密度行列要素⟨k|ρ(t)|k⟩の正確な解析的表現を導出する。
• 中心モーメントμₘ(t)は、確率分布のテイラー級数展開を用いて計算され、係数は運動量空間における積分および組み合わせ的恒等式から導出される。
• 生成関数および組み合わせ的恒等式（例えば、二項係数の和や中心モーメントの恒等式）を活用して、高次モーメントの表現を簡略化する。
• モーメント展開の主要項を分離し、特に偶数モーメントにおいて漸近的スケーリング指数を特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パラメータωを介した量子的から古典的行動への遷移に伴い、2次モーメントの漸近的スケーリング指数αはどのように変化するか？
• RQ2 ユニタリ量子ウォークに特徴的な球面的スケーリング（α = 2）は、強いグローバル散乱下でも保持されるか？
• RQ3 グローバル散乱を伴う直線上の量子確率的ウォークの確率分布の解析的形は何か？
• RQ4 グローバル散乱下で、高次モーメントμₘ(t)は時間に対してどのようにスケーリングするか？ これはウォークのダイナミクスにどのような意味を持つのか？
• RQ5 グローバルLindblad作用素LSは、標準的な局所的散乱領域を超えて、どのように量子的整合性を維持するのか？

主な発見

• 漸近的スケーリング指数αは、完全な散乱（ω = 1）下でも2のまま（球面的領域）維持され、グローバル散乱が量子的整合性を破壊しないことを示している。
• 2次モーメントμ₂(t)はすべてのω ∈ [0,1]に対してt²に比例し、m次のモーメントの主要項は(1−ω)^mに比例する。これはグローバル散乱下でも整合性が保持されることを示している。
• 偶数モーメントにおいて、モーメント展開の主要項はβₘ,ω t^mである。ここでβₘ,ω = (1−ω)^m × (m choose m/2) であり、μₘ(t)のt^mスケーリングを確認している。
• 直線分上の確率分布は直交関数およびフーリエ積分を用いて正確に導出可能であり、モーメントの解析的計算が可能になる。
• グローバル散乱（LS）を有するモデルは、標準的な古典的または量子ウォークでは実現不可能なダイナミクスを生み出し、環境相互作用下で新たな量子的挙動を可能にする。
• 解析により、漸近的スケーリング指数α = 2がωの全範囲にわたり強靭であることが確認され、環境結合がグローバル散乱である限り、整合性が破壊されないことが示された。