[論文レビュー] Properties of Quaternion Fourier Transforms

Dong Cheng, Kit Ian Kou|arXiv (Cornell University)|Jun 28, 2016

Mathematical Analysis and Transform Methods被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、L1(R², H)およびL2(R², H)における右側（RQFT）および両側（SQFT）クォータニオンフーリエ変換（QFT）の性質を調査し、エネルギー保存則を確立するとともに、RQFTをL2へのユニタリ拡張によって拡張する。RQFTとSQFTの間の重要な関係を導出し、これらをクォータニオン線形キャノニカル変換（QLCT）に一般化し、物理学および工学分野における応用のための基盤的ツールを提供する。

ABSTRACT

With the recent popularity of quaternion and quaternion Fourier transforms (QFTs) technique in physics and engineering applications, there tends to be an inordinate degree of interest placed on the properties of QFTs. Due to the noncommutativity of multiplication of quaternions, there are different types of QFTs and we focus on the right-sided QFT (RQFT) and two-sided QFT (SQFT). In this paper, we begin by considering the behavior of the RQFT on the space L1(R2, H). The energy-preserved property deduces to the extension of RQFT on L2(R2, H). We are largely exploiting the relation between RQFT and SQFT and some elementary properties of RQFT can be transformed to SQFT. As a generalization of QFTs, the properties of quaternion linear canonical transforms (QLCTs) are also studied on the basis of existing properties of QFTs.

研究の動機と目的

• L1(R², H)における右側クォータニオンフーリエ変換（RQFT）の挙動を分析し、エネルギー保存則を用いてL2(R², H)への拡張を実現する。
• RQFTと両側QFT（SQFT）の間の理論的関係を確立し、RQFTの基本的性質をSQFTに移行可能にする。
• 既存のQFTの性質を、クォータニオン線形キャノニカル変換（QLCT）のより広いクラスに一般化し、その適用範囲を拡張する。
• クォータニオン代数における非可換性に起因する課題に対処するため、QFTの異なる定式化を体系的に分析する。

提案手法

• 絶対可積分なクォータニオン値関数の空間L1(R², H)におけるRQFTを、積分変換の定義を用いて分析する。
• エネルギー保存則を適用して、RQFTをL1(R², H)からL2(R², H)へ拡張し、ユニタリ性を保証する。
• クォータニオンの代数的性質を活用して、RQFTとSQFTの間の数学的関係を導出する。
• クォータニオン代数の構造を用いて、既知のQFTの結果に基づき、QFTの性質をQLCTへ一般化する。
• ヒルベルト空間論を含む関数解析的手法を用いて、L2への拡張を正当化する。
• クォータニオン乗法における非可換性が、変換の定義および性質に与える影響を検討する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 右側QFTはL1(R², H)上でどのように振る舞い、エネルギー保存則を用いたL2(R², H)への拡張を保証する条件は何か？
• RQ2 右側QFT（RQFT）と両側QFT（SQFT）の間の数学的関係は何か？ また、一方の性質を他方に移行する方法は何か？
• RQ3 QFTの性質をどのようにクォータニオン線形キャノニカル変換（QLCT）に一般化できるか？ また、この一般化の背後にある基礎的QFTの性質は何か？
• RQ4 クォータニオン乗法の非可換性は、QFTの異なる定式化の定義および分析において果たす役割は何か？

主な発見

• RQFTはL1(R², H)上で適切に定義されており、エネルギー保存則によりL2(R², H)へのユニタリ拡張が可能である。
• RQFTとSQFTの関係により、RQFTの基本的性質を体系的にSQFTの対応する性質に変換できる。
• エネルギー保存則により、RQFTはL2(R², H)上で等長写像（等長性）を満たすため、信号および画像処理への応用が可能である。
• QFTに向けた枠組みが確立され、これによりQLCTへの一般化が可能となり、理論的・実用的有用性が拡張される。
• クォータニオンの非可換性は、QFTのタイプを注意深く定義する必要性を生じさせ、RQFTとSQFTは独立ではあるが関連する定式化である。
• 本研究の結果は、回転および方向不変性を要する応用において、QFTおよびQLCTの多変数信号処理および物理的モデリングへの応用を支援する。