[論文レビュー] Properties of Tensor Complementarity Problem and Some Classes of Structured Tensors

Yisheng Song, Liqun Qi|arXiv (Cornell University)|Nov 29, 2014

Tensor decomposition and applications参考文献 29被引用数 26

ひとこと要約

本稿では、非負のテンソルがQ-テンソルであるための必要十分条件が、すべての主対角成分が正であることであることを確立し、非負テンソルにおいてQ-テンソル、R-テンソル、厳密に準正のテンソル、およびR₀-テンソルのクラスが同値であることを証明している。本研究は、構造的テンソルおよびその補完性問題の基礎的特徴づけを提供し、特に対角優位性と正の制約を用いて解の存在性および一意性の条件を明確にした。

ABSTRACT

This paper deals with the class of Q-tensors, that is, a Q-tensor is a real tensor $\mathcal{A}$ such that the tensor complementarity problem $(\q, \mathcal{A})$: $$\mbox{ finding } \x \in \mathbb{R}^n\mbox{ such that }\x \geq \0, \q + \mathcal{A}\x^{m-1} \geq \0, \mbox{ and }\x^ op (\q + \mathcal{A}\x^{m-1}) = 0, $$ has a solution for each vector $\q \in \mathbb{R}^n$. Several subclasses of Q-tensors are given: P-tensors, R-tensors, strictly semi-positive tensors and semi-positive R$_0$-tensors. We prove that a nonnegative tensor is a Q-tensor if and only if all of its principal diagonal entries are positive, and so the equivalence of Q-tensor, R-tensors, strictly semi-positive tensors is showed if they are nonnegative tensors. We also show that a tensor is a R$_0$-tensor if and only if the tensor complementarity problem $(\0, \mathcal{A})$ has no non-zero vector solution, and a tensor is a R-tensor if and only if it is a R$_0$-tensor and the tensor complementarity problem $(\e, \mathcal{A})$ has no non-zero vector solution, where $\e=(1,1\cdots,1)^ op$.

研究の動機と目的

• Q-テンソルを特徴づけ、P-テンソル、R-テンソル、および厳密に準正のテンソルなどの構造的テンソルクラスとの関係を明らかにすること。
• 非負テンソルがQ-テンソルであるための必要十分条件を、対角優位性に焦点を当てて確立すること。
• テンソル補完性問題（TCP）とR₀-テンソルの関係を、右辺がゼロベクトルまたはすべて1のベクトルである場合に特に明確にすること。
• 非負性制約下での構造的テンソルクラスの同値性を調査すること、特に対称的かつ非負の設定において重点を置く。

提案手法

• テンソル補完性問題（TCP）$({\bf q}, \mathcal{A})$ を定義し、$\mathbf{x} \geq \mathbf{0}$、$\mathbf{q} + \mathcal{A} \mathbf{x}^{m-1} \geq \mathbf{0}$、および$\mathbf{x}^\top (\mathbf{q} + \mathcal{A} \mathbf{x}^{m-1}) = 0$ として分析する。
• 厳密に準正のテンソルの定義を用いて、非負テンソルが厳密に準正であるための必要十分条件が、すべての対角成分が正であることであることを示す。
• 背理法を用いて、非負のQ-テンソルはすべての対角成分が正でなければならないことを証明する。
• テンソルがR₀-テンソルであるための必要十分条件が、TCP$({\bf 0}, \mathcal{A})$ に非ゼロ解が存在しないことであることを確立する。
• テンソルがR-テンソルであるための必要十分条件が、R₀-テンソルであることと、TCP$({\bf e}, \mathcal{A})$ に非ゼロ解が存在しないことであることを証明する。ここで $\mathbf{e} = (1,\dots,1)^\top$ である。
• SongとQi（2015）のコポジティブおよび準正性に関する既知の結果を活用し、対称性および非負性の下でテンソルクラス間の同値性を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非負テンソルがQ-テンソルであるための条件は何か？
• RQ2 R₀-テンソルとTCP$({\bf 0}, \mathcal{A})$ の可解性の関係は何か？
• RQ3 非負テンソルの文脈において、Q-テンソル、R-テンソル、厳密に準正のテンソル、およびR₀-テンソルのクラスはどのように関係しているか？
• RQ4 対称的Q-テンソルの固有値とTCP$({\bf q}, \mathcal{A})$ の解との間に相関関係は存在するか？
• RQ5 準正のQ-テンソルは、少なくとも2つの非ゼロ成分を持つ非ゼロのTCP解を有するか？

主な発見

• 非負テンソル $\mathcal{A}$ がQ-テンソルであるための必要十分条件は、すべての主対角成分 $a_{ii\cdots i}$ が正であることである。
• 非負テンソルにおいて、Q-テンソル、R-テンソル、厳密に準正のテンソル、およびR₀-テンソルのクラスは同値である。
• テンソルがR₀-テンソルであるための必要十分条件は、テンソル補完性問題 $({\bf 0}, \mathcal{A})$ に非ゼロ解が存在しないことである。
• テンソルがR-テンソルであるための必要十分条件は、R₀-テンソルであることと、テンソル補完性問題 $({\bf e}, \mathcal{A})$ に非ゼロ解が存在しないことである。
• 非負テンソルにおいて、$\mathbf{q} \geq \mathbf{0}$ のとき、TCP$({\bf q}, \mathcal{A})$ の唯一の実行可能解は $\mathbf{x} = \mathbf{0}$ である。
• 対称的かつ非負テンソルにおいて、Q-テンソル、R-テンソル、厳密に準正のテンソル、厳密にコポジティブなテンソル、および正の対角成分のクラスは同値である。