[論文レビュー] Properties of the Class of Measure Separable Compact Spaces

Mirna Džamonja, Kenneth Kunen|arXiv (Cornell University)|Aug 9, 1994

Advanced Topology and Set Theory参考文献 10被引用数 25

ひとこと要約

この論文は、すべての正則Borel測度が可分であるようなコンパクト空間のクラス $MS$ を調査し、順序付きおよび散乱空間が $MS$ に属することを確立するとともに、$MS$ に属することの保持が $ccc$ フォースによって破壊され得ることを示している。具体的には、Suslin木によるフォースでは、$MS$ に属する空間に非可分なRadon測度を追加するが、非属する性質は $\omega_1$ を崩さない拡張では保存される。

ABSTRACT

We investigate properties of the class of compact spaces on which every regular Borel measure is separable. This class will be referred to as MS. We discuss some closure properties of MS, and show that some simply defined compact spaces, such as compact ordered spaces or compact scattered spaces, are in MS. Most of the basic theory for regular measures is true just in ZFC. On the other hand, the existence of a compact ordered scattered space which carries a non-separable (non-regular) Borel measure is equivalent to the existence of a real-valued measurable cardinal less or equal to c. We show that not being in MS is preserved by all forcing extensions which do not collapse omega_1, while being in MS can be destroyed even by a ccc forcing.

研究の動機と目的

• すべての正則Borel測度が可分であるようなコンパクト空間のクラス $MS$ を特徴づけること。
• $MS$ の位相的構成およびフォース拡張における閉包性質を調査すること。
• 非可分測度の存在が、コンパクト順序散乱空間において集合論的独立性を示すこと。
• 特に $ccc$ フォースおよびSuslin木によるフォースにおいて、$MS$ の性質がどのように変化するかを特定すること。
• $MS$ に属することの保持が $ccc$ フォースにおいても保証されないことを示すこと、すなわち $\omega_1$ を保存するが $MS$ に属さない空間に変化させ得ること。

提案手法

• $MS$ を、すべてのRadon（すなわち正則Borel）測度が可分であるようなコンパクトハウスドルフ空間のクラスとして定義する。
• Maharamの定理を用いて、非可分測度を、正の測度を持つ閉部分集合に台を持つ nowhere separable 測度に還元する。
• Aronszajn木 $T$ の鎖から、$2^{T \times 2}$ への射影を用いて、Corsonコンパクト空間 $X$ を構成する。
• 地面モデルにおいて、正の測度を持つノードの集合が可算であることから、$X$ から零集合を除いた空間が第二可算であることを示し、$X \in MS$ を証明する。
• Suslin木 $T$ を用いたフォースを用いて、一般化拡張における $\Phi(X)$ が $2^{\omega_1}$ の同相コピーを含むことを示し、$\Phi(X) \notin MS$ を示す。
• $J$ が非可算であるとき、$2^J$ 上の積測度が非可分であることを利用し、フォース後の非属する性質を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 順序付きや散乱空間などのような位相的クラスは、$MS$ クラスに属するか？
• RQ2 特に $ccc$ フォースにおいて、$MS$ に属する性質がフォース拡張で保持されたり破壊されたりする仕組みは？
• RQ3 コンパクト順序散乱空間に非可分Borel測度が存在するためには、どの程度の集合論的強さ（たとえば、実数値可測基数）が必要か？
• RQ4 地面モデルで $MS$ に属する空間が、$ccc$ フォース拡張後に非$MS$ になることは可能か？
• RQ5 Suslin木の構造が、$MS$ に属する空間の一般化拡張において非可分測度を構成するためにどのように機能するか？

主な発見

• コンパクト順序空間およびコンパクト散乱空間は、それらのすべての正則Borel測度が可分であるため、$MS$ に属する。
• コンパクト順序散乱空間に非可分Borel測度が存在することは、$c$ 以下の実数値可測基数の存在と同値である。
• $\omega_1$ を崩さない任意のフォース拡張では、非$MS$ に属する性質が保存される。
• $MS$ に属することの保持は $ccc$ フォースでは保証されない：Suslin木によるフォースでは $MS$ に属することを破壊する。
• Suslin木によるフォースでは、$MS$ に属するCorsonコンパクト空間 $X$ に、$2^{\omega_1}$ の同相コピーが追加され、拡張において $\Phi(X) \notin MS$ となる。
• 地面モデルでは、正の測度を持つノードの集合が可算であるため、$X$ から零集合を除いた空間は第二可算であり、したがって測度可分である。