[論文レビュー] Properties of the extended Clifford group with applications to SIC-POVMs and MUBs

D. M. Appleby|ArXiv.org|Sep 28, 2009

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 7被引用数 35

ひとこと要約

本稿は、奇素数冪次元における拡張クラウフォード群の忠実で位相最適化されたユニタリ表現を確立し、(反-)シンプレクティック行列から(反-)ユニタリ作用素を明示的に計算可能にする。この作用素の固有値、位数、根を導出し、SIC-POVM基準状態の自然な基底の構成およびMUBサイクリング問題の解法に応用する。$d \equiv 3 \pmod{4}$ の場合、クラウフォード反ユニタリ作用素がすべてのウッタース＝フィールズMUBをサイクリングする。一方、すべての奇素数冪次元において、MUBはそれぞれが1つのクラウフォードユニタリ作用素によってサイクリングされる2つのグループに分割される。

ABSTRACT

We consider a version of the extended Clifford Group which is defined in terms of a finite Galois field in odd prime power dimension. We show that Neuhauser's result, that with the appropriate choice of phases the standard (or metaplectic) representation of the discrete symplectic group is faithful also holds for the anti-unitary operators of the extended group. We also improve on Neuhauser's result by giving explicit formulae for the (anti-)unitary corresponding to an arbitrary (anti-)symplectic matrix. We then go on to find the eigenvalues and the order of an arbitrary (anti-)symplectic matrix. The fact that in prime power dimension the matrix elements belong to a field means that this can be done using the same techniques which are used to find the eigenvalues of a matrix defined over the reals-including the use of an extension field (the analogue of the complex numbers) when the eigenvalues are not in the base field. We then give an application of these results to SIC-POVMs (symmetric informationally complete positive operator valued measures). We show that in prime dimension our results can be used to find a natural basis for the eigenspace of the Zauner unitary in which SIC-fiducials are expected to lie. Finally, we apply our results to the MUB cycling problem. We show that in odd prime power dimension d, although there is no Clifford unitary, there is a Clifford anti-unitary which cycles through the full set of Wootters-Fields MUBs if d=3 (mod 4). Also, irrespective of whether d=1 or 3 (mod 4), the Wootters-Fields MUBs split into two groups of (d+1)/2 bases in such a way that there is a single Clifford unitary which cycles through each group separately.

研究の動機と目的

• 有限体における奇素数冪次元の拡張クラウフォード群の忠実で非射影的ユニタリ表現を確立すること。
• 任意の(反-)シンプレクティック行列に対応する(反-)ユニタリ作用素を計算する明示的公式を導出すること。
• この表現を用いて、素数次元におけるSIC-POVM基準状態の自然な固有空間基底を構成すること。
• ユニタリおよび反ユニタリ作用素を同定することにより、完全なまたは分割された相互に偏りのない基底（MUB）の集合をサイクリングするMUBサイクリング問題を解決すること。

提案手法

• 適切に選んだ位相を用いたメタプレクティック表現により、(反-)シンプレクティック行列から(反-)ユニタリ作用素への写像が真の群準同型となるようにする。
• 有限体の演算および拡張体（複素数の類似）を用いて、固有値が基本体の外にある場合でも、(反-)シンプレクティック行列の固有値を計算する。
• (反-)ユニタリ作用素を位移作用素の線形結合として表現し、明示的な行列要素の計算を可能にする。
• インデックス関数 $f_F(s)$ およびスケーリング係数 $g_F(s)$ を用いて、$U_F$ がMUB基底状態に作用する変換則を導出する。
• 拡張体の構造を用いて、量子光学における複素パrameter化と類似する位移作用素のパラメータ化を構築する。
• 特定の行列 $A$ および $A^2$ の作用を分析し、MUB間でのサイクリング行動を特定する。$d \equiv 1$ および $d \equiv 3 \pmod{4}$ の場合に区別する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 奇素数冪次元における拡張クラウフォード群のメタプレクティック表現を、反ユニタリ作用素に対しても忠実（非射影的）にできるか？
• RQ2 有限体上での任意の(反-)シンプレクティック行列に対応する(反-)ユニタリ作用素を計算する明示的公式は存在するか？
• RQ3 有限体および拡張体の技術を用いて、(反-)ユニタリ作用素の固有値、位数、根をどのように計算できるか？
• RQ4 得られた結果を用いて、SIC-POVM基準状態が存在するザウナー作用素の固有空間に対する自然な基底を構成できるか？
• RQ5 1つのクラウフォード(反-)ユニタリ作用素が、奇素数冪次元におけるすべてのウッタース＝フィールズMUBをサイクリングできるか？その条件は何か？

主な発見

• 位相の選択により、拡張クラウフォード群のメタプレクティック表現が忠実化され、すべての $F_1, F_2 \in \mathrm{ESL}(2,\mathbb{F}_d)$ に対して $U_{F_1}U_{F_2} = U_{F_1F_2}$ が正確に成立する。
• 任意の $F \in \mathrm{ESL}(2,\mathbb{F}_d)$ から $U_F$ を計算する明示的公式が導出され、位移作用素の線形結合としても表現可能である。
• (反-)シンプレクティック行列の固有値は拡張体を用いて計算され、有限体上での完全なスペクトル解析が可能になる。
• 素数次元では、ザウナー作用素の固有空間に対する自然な基底が構成され、そこにはSIC-POVM基準状態が含まれると予想される。
• $d \equiv 3 \pmod{4}$ の場合、すべての $d+1$ 個のウッタース＝フィールズMUBをサイクリングするクラウフォード反ユニタリ作用素が存在する。
• すべての奇素数冪次元において、$d+1$ 個のMUBはそれぞれ $(d+1)/2$ 個の基底からなる2つのグループに分割され、各グループは1つのクラウフォードユニタリ作用素によって別々にサイクリングされる。