[論文レビュー] Properties of the l=1 radial part of the Laplace operator in a special scalar product

T. A. Bolokhov|arXiv (Cornell University)|Oct 27, 2015

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 3被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$ \mathbb{R}^3 $ における横方向ベクトル場の分解から生じる非標準的な内積における、ラプラシアンの $ l=1 $ の径方向部分の自己共役拡張を検討する。演算子およびその逆演算子のスペクトル性質、リゾルベント核、スペクトル分解を導出し、$[0, \infty)$ に連続スペクトルと $ -\kappa^2 $、$ -2^{2/3}\kappa^{-4} $ における離散固有値を明らかにした。明示的な固有関数および積分核が提示されている。

ABSTRACT

We develop self-adjoint extensions of the l=1 radial part of the Laplace operator in a special scalar product. The product arises as the transfer of the plain product from R^3 into the set of functions parametrizing one of the two components of the transverse vector field. The similar extensions are treated for the square of inverse operator of the radial part in question.

研究の動機と目的

• $ \mathbb{R}^3 $ における横方向ベクトル場構造から導かれる内積における、ラプラシアンの $ l=1 $ の径方向部分の自己共役拡張を構築すること。
• この非標準的内積（標準的 $ L^2 $-設定とは異なる）における演算子 $ T_1 $ 及びその逆演算子のスペクトル性質を分析すること。
• 演算子およびその逆演算子の両方について、明示的なリゾルベント核およびスペクトル分解を構成すること。離散固有値の固有関数を含む。
• この拡張が、クーロンゲージにおける電磁場ハミルトニアンの運動エネルギー項およびポテンシャルエネルギー項において物理的にどのように関連するかを明確にすること。

提案手法

• 横方向ベクトル場上の $ L^2 $ 内積から生じる、$ \langle u, v \rangle_l = \int_0^\infty \left( \overline{u'}v' + \frac{l(l+1)}{r^2}\overline{u}v \right) dr $ という内積が用いられる。
• $ l=1 $ における径方向演算子 $ T_l = -\frac{d^2}{dr^2} + \frac{l(l+1)}{r^2} $ が考察され、パrameter $ \kappa $ を含む境界条件によって自己共役拡張が特徴づけられる。
• 微分方程式 $ (T_1 - \lambda^2)u = 0 $ の解を用いて、複素数 $ \lambda $ を用いたリゾルベント核 $ \tilde{R}(r,s;\lambda) $ が明示的に構成される。
• スペクトル分解は、核 $ \hat{p}_\lambda(r) = \frac{i}{\sqrt{2\pi}\lambda^2} D\left( \sqrt{\frac{\overline{d}}{d}}e^{i\lambda r} - \sqrt{\frac{d}{\overline{d}}}e^{-i\lambda r} + \frac{2i\lambda^3}{|d|}e^{-\lambda r} \right) $ を用いて導出され、連続スペクトル測度が得られる。
• 逆演算子 $ T_1^{-1} $ のための第二の拡張族が、$ \varkappa $ を含む異なる定義域条件を用いて構成され、修正された二次形式およびスペクトル核が得られる。
• 逆演算子のスペクトル分解は、$ Q_{\varkappa}^{-1}(u) = \iint Q_{\varkappa}^{-1}(r,s) u(r) \overline{u(s)} \, dr \, ds $ として表され、$ Q_{\varkappa}^{-1}(r,s) $ は固有関数と $ \varkappa^{-4} $ 比例の離散項を含む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 横方向ベクトル場の内積から生じる $ \mathbb{R}^3 $ 上の $ l=1 $ の径方向ラプラシアンの自己共役拡張は何か？
• RQ2 この非標準的内積において、$ T_1 $ 及びその逆演算子のスペクトル性質は、標準的 $ L^2 $ 設定と比べてどのように異なるか？
• RQ3 拡張された演算子 $ T_1 $ の明示的なリゾルベント核およびスペクトル分解の形は何か？
• RQ4 拡張された演算子枠組みにおいて、離散固有値および固有関数はどのようにして出現し、拡張パrameter $ \kappa $ に依存するか？
• RQ5 この内積において、$ T_1^{-1} $ に関連する二次形式を意味的に拡張できるか？もしそうなら、その表現はいかなる形か？

主な発見

• 内積 $ \langle u, v \rangle_1 $ における $ T_1 $ の自己共役拡張は、$[0, \infty)$ に連続スペクトルを持ち、スペクトル密度は式 (59) に示される関数 $ \hat{p}_\lambda(r) $ で与えられる。
• 拡張パrameter $ \kappa $ が負値のとき、演算子 $ T_1 $ は $ -\kappa^2 $ に単一の離散固有値を持ち、それに応じる固有関数は式 (32) で与えられる。
• リゾルベント核 $ \tilde{R}(r,s;\lambda) $ は、指数関数的および修正ベッセル関数型の項の組み合わせとして明示的に構成され、$ d $、$ \overline{d} $、および $ \alpha_{\pm}(\lambda) $ を含む閉形式の表現を持つ。
• 演算子 $ T_1 $ のスペクトル分解は式 (29) で与えられ、恒等演算子が連続スペクトルにわたる積分として、核 $ \hat{p}_\lambda(r) $ を用いて表現される。
• 逆演算子 $ T_1^{-1} $ については、$ \varkappa $ を含む定義域条件を用いた第二の自己共役拡張族が構成され、$ -2^{2/3}\kappa^{-4} $ に離散固有値が得られる。
• 逆演算子のスペクトル分解は、核 $ Q_{\varkappa}^{-1}(r,s) $ を用いて表され、連続部分と $ \varkappa^{-4} $ 比例の離散項を含む。式 (59) に示されている。