[論文レビュー] Properties of the map associated with recovering of the Sturm-Liouville operator by its spectral function. Uniform stability in the scale of Sobolev spaces

А. М. Савчук, Андрей Андреевич Шкаликов|arXiv (Cornell University)|Oct 26, 2010

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 3被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、Sobolev空間におけるSturm-Liouvilleポテンシャルの逆問題に対して、一様安定性推定を確立する。非線形写像 $ F: W_2^\theta \to l_D^\theta $ を導入し、ポテンシャルの原始関数 $ \sigma = \int q $ を正則化されたスペクトルデータに結びつける。この写像は局所的に可逆であり、明示的なFréchet微分を持つことが証明され、凸集合内での一様な両側推定 $ \|\sigma - \sigma_1\|_\theta \asymp \|\mathbf{s} - \mathbf{s}_1\|_\theta $ が得られる。これにより、Sobolev正則性の全範囲 $ \theta \geq 0 $ において、安定な再構成が保証される。

ABSTRACT

Denote by $L_D$ the Sturm-Liouville operator $Ly=-y" +q(x)y$ on the finite interval $[0,π]$ with Dirichlet boundary conditions $y(0)=y(π)=0$. Let $\{λ_k\}_1^\infty$ and $\{α_k\}_1^\infty$ be the sequences of the eigenvalues and norming constants of this operator. For all $θ\geqslant 0$ we study the map $F: W_2^θ o l_D^θ$ defined by $F(σ) =\{s_k\}_1^\infty$. Here $σ= \int q $ is the primitive of $q$, $\bold s = \{s_k\}_1^\infty$ be regularized spectral data defined by $s_{2k} =\sqrt{λ_k}-k,\ s_{2k-1}=α_k-π/2$ and $l_D^θ$ are special Hilbert spaces which are constructed in the paper as finite dimensional extensions of the usual weighted $l_2$ spaces. We give a complete characterization of the image of this nonlinear operator, show that it is locally invertible analytic map, find explicit form of its Frechet derivative. The main result of the paper are the uniform estimates of the form $\|σ-σ_1\|_θ\asymp \|\bold s -\bold s_1\|_θ$, provided that the spectral data $\bold s$ and $\bold s_1$ run through special convex sets in the spaces $l_D^θ$.

研究の動機と目的

• Sturm-Liouvilleポテンシャル $ q \in W_2^\alpha[0,\pi] $ をそのスペクトル関数から再構成する逆問題に取り組み、$ \alpha \geq -1 $ にまで拡張する。
• ポテンシャルの原始関数 $ \sigma = \int q $ を正則化スペクトルデータ $ \mathbf{s} = \{s_k\} $ に写像する非線形写像 $ F: W_2^\theta \to l_D^\theta $ の像を特徴づける。ここで $ s_{2k} = \sqrt{\lambda_k} - k $、$ s_{2k-1} = \alpha_k - \pi/2 $ である。
• 凸集合 $ \Omega^\theta(r,h) \subset l_D^\theta $ 上で、$ \theta > 0 $ に対して一様な両側推定 $ \|\sigma - \sigma_1\|_\theta \asymp \|\mathbf{s} - \mathbf{s}_1\|_\theta $ を確立し、再構成のロバスト性を保証する。
• 写像 $ F $ 及びその逆写像のFréchet微分の明示的公式を提供し、局所的解析的逆写像の可能性を実現する。
• 非線形補間理論を用いて、Sobolev空間 $ W_2^\theta $、$ \theta \geq 0 $ 全体のスケールにわたる枠組みを拡張し、Hilbert空間 $ l_D^\theta $ を重み付き $ \ell_2 $ 空間の有限次元拡張として構成する。

提案手法

• Sturm-Liouville作用素 $ L_D = -y'' + q(x)y $ が区間 $[0,\pi]$ 上でDirichlet境界条件を満たすとき、ポテンシャル $ q \in W_2^\theta $ の原始関数 $ \sigma = \int q $ を、正則化スペクトルデータ $ \mathbf{s} = \{s_k\} $ に写像する写像 $ F: W_2^\theta \to l_D^\theta $ を定義する。ここで $ s_{2k} = \sqrt{\lambda_k} - k $、$ s_{2k-1} = \alpha_k - \pi/2 $ であり、$ \lambda_k $、$ \alpha_k $ はそれぞれ固有値およびノルム定数である。
• 正則化スペクトルデータを扱い、完全性と有界性を保証するため、Hilbert空間 $ l_D^\theta $ を重み付き $ \ell_2 $ 空間の有限次元拡張として構成する。
• 写像 $ F $ がSobolev空間 $ W_2^\theta $ と空間 $ l_D^\theta $ 間で局所的に可逆な解析的写像であることを証明し、明示的に計算されたFréchet微分を持つことを示す。
• 凸集合 $ \Omega^\theta(r,h) \subset l_D^\theta $ および球体 $ \mathcal{B}_\Gamma^\theta(R) \subset W_2^\theta $ を用いて一様安定性推定を確立し、ポテンシャル差の $ \theta $-ノルムとスペクトルデータ差の $ \theta $-ノルムとの同値性を示す。
• 非線形補間理論を適用し、Sobolev空間 $ W_2^\theta $、$ \theta \geq 0 $ 全体のスケールにわたる解析を統一し、安定性推定がロバストかつスケール不変であることを保証する。
• アフィン変換（$ cx $ を加えること）による $ \mathcal{B}_\Gamma^\theta(R) $ と $ \mathcal{B}_\mathbb{R}^\theta(R) $ の空間の同値性を用い、解析を簡略化し、標準Sobolev球体への結果の拡張を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 写像 $ F: W_2^\theta \to l_D^\theta $ が原始関数 $ \sigma = \int q $ を正則化スペクトルデータに写像する像を、正確に特徴づける方法は何か？
• RQ2 写像 $ F $ のFréchet微分を明示的に計算する方法は何か？また、その結果は逆問題の局所的可逆性に何を示唆するか？
• RQ3 ポテンシャル差の $ W_2^\theta $-ノルムとその正則化スペクトルデータ差の $ l_D^\theta $-ノルムとの間で、一様な両側推定をどのように確立できるか？
• RQ4 推定における安定性定数はデータセットのサイズにどのように依存するか？また、$ R \to \infty $ または $ h \to 0 $ のときには何が起こるか？
• RQ5 特別な集合 $ \mathcal{B}_\Gamma^\theta(R) $ から標準Sobolev球体 $ \mathcal{B}_\mathbb{R}^\theta(R) $ に結果を拡張できるか？スペクトルデータ定義に必要な修正は何か？

主な発見

• 写像 $ F: W_2^\theta \to l_D^\theta $ は、$ F(\sigma) = \{s_k\} $ で定義され、$ s_{2k} = \sqrt{\lambda_k} - k $、$ s_{2k-1} = \alpha_k - \pi/2 $ である。この写像はSobolev空間 $ W_2^\theta $ と構築されたHilbert空間 $ l_D^\theta $ 間で局所的に可逆な解析的写像であり、逆問題の局所的適切性を保証する。
• 写像 $ F $ のFréchet微分は明示的に計算され、有界線形作用素であることが示され、Sobolev空間スケールにおける逆関数定理の技法の適用が可能になる。
• 凸集合 $ \Omega^\theta(r,h) \subset l_D^\theta $ 内で $ \theta > 0 $ に対して一様な両側推定 $ \|\sigma - \sigma_1\|_\theta \asymp \|\mathbf{s} - \mathbf{s}_1\|_\theta $ が確立され、定数 $ C_1, C_2 $ は $ r $ と $ h $ のみに依存する。
• 逆写像 $ F^{-1} $ は $ \Omega^\theta(r,h) $ 上で一様に有界であり、$ \|(F^{-1})'\| \leq C $ を満たす。ここで $ C $ は $ r $ と $ h $ のみに依存する。これにより、再構成プロセスの安定性が保証される。
• 安定性推定はロバストである：$ R \to \infty $ のとき、定数 $ r $、$ h^{-1} $、$ C_2 $、$ C_1^{-1} $ は増加するが、指定された凸集合上では推定は一様のままである。
• アフィン変換 $ \sigma \mapsto \sigma + cx $ を用いることで、特別な集合 $ \mathcal{B}_\Gamma^\theta(R) $ から標準Sobolev球体 $ \mathcal{B}_\mathbb{R}^\theta(R) $ への結果の拡張が可能になる。スペクトルデータは定数 $ c $ を含むように再定義され、$ c \geq -\lambda_1(\sigma) - 1 $ を満たすことで、推定におけるノルムの同値性が保証される。