[論文レビュー] Property (T) for groups graded by root systems

Mikhail Ershov, Andrei Jaikin‐Zapirain+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 31, 2011

Advanced Algebra and Geometry参考文献 16被引用数 14

ひとこと要約

この論文は、有限生成な可換環上のランク ≥ 2 の縮小不能な古典的根系に関連するシュテインバーグ群および基本チェヴァリィ群が、カジランの性質 (T) を持つことを確立する。著者らは根系による順序付けられた群を導入し、非退化条件のもとで、根部分群の和集合がカジラン部分集合をなすことを証明する。これにより相対的性質 (T) が得られ、スペクトル基準と群の拡張を用いて、最終的に全群に対し性質 (T) が成立する。

ABSTRACT

We introduce and study the class of groups graded by root systems. We prove that if Φ is an irreducible classical root system of rank at least 2 and G is a group graded by Φ, then under certain natural conditions on the grading, the union of the root subgroups is a Kazhdan subset of G. As the main application of this theorem we prove that for any reduced irreducible classical root system Φ of rank at least 2 and a finitely generated commutative ring R with 1, the Steinberg group St_Φ(R) and the elementary Chevalley group E_Φ(R) have property (T). We also show that there exists a group with property (T) which maps onto all finite simple groups of Lie type and rank at least 2, thereby providing a "unified" proof of expansion in these groups.

研究の動機と目的

• ランク ≥ 2 の古典的根系に関連するシュテインバーグ群および基本チェヴァリィ群が、カジランの性質 (T) を持つことを確立すること。
• 根系による順序付けられた群の一般的な枠組みを構築し、その構造的および表現論的性質を分析すること。
• 非退化条件のもとで、このような群における根部分群の和集合がカジラン部分集合をなすことの証明。
• すべてのランク ≥ 2 の型の有限単純リー型群に上に投影される性質 (T) を持つ「母集団群」の構成により、拡張性質を統一すること。
• コドイスタンス推定とヒルベルト＝シュミットノルムを用いて、性質 (T) のスペクトル基準を、べき零部分群およびボレル部分群へ拡張すること。

提案手法

• 根系による順序付けられた群の概念を導入し、チェヴァリィ群やシュテインバーグ群を一般化し、各根に対応する根部分群を定義する。
• ウェイル群および根系に関連するグラフ上のラプラシアンに基づくスペクトル基準を用いて、相対的性質 (T) を分析する。
• ヒルベルト＝シュミットノルムと群作用を用いて、べき零部分群およびボレル部分群におけるコドイスタンスおよび直交性定数を推定する。
• 特にシュテインバーグ群とアーベル加群を含む群の拡張および半直積に対して、相対的性質 (T) の技法を適用する。
• 非可換環上での対合と順序付けられた自己同型を用いて、タイプ $^2D_n$、$^2F_4$、および $^2,^2A_{2n-1}$ のねじれた群を構成する。
• 根系の還元と良い還元を用いて、有界ランクから無限ランクの場合へ結果を拡張し、性質 (T) を持つ普遍的な母集団群に至る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 根系による順序付けられた群において、根部分群の和集合が群内でカジラン部分集合をなすための条件は何か？
• RQ2 $Φ$ がランク ≥ 2 の縮小不能な古典的根系で、$R$ が有限生成な可換環であるとき、シュテインバーグ群 $Φ(R)$ および基本チェヴァリィ群 $Φ(R)$ に対して性質 (T) を確立できるか？
• RQ3 すべてのランク ≥ 2 の型の有限単純リー型群に上に射影される性質 (T) を持つ単一の群が存在するか？
• RQ4 べき零部分群およびボレル部分群におけるスペクトル基準とコドイスタンス推定を用いて、群の拡張に対する相対的性質 (T) をどのように導出できるか？
• RQ5 順序付けられた自己同型とねじれた群の構成は、非古典的またはユニタリ型の群への性質 (T) の拡張において果たす役割は何か？

主な発見

• 任意のランク ≥ 2 の縮小不能な古典的根系 $Φ$ および有限生成な可換環 $R$ に対して、シュテインバーグ群 $Φ(R)$ および基本チェヴァリィ群 $Φ(R)$ はカジランの性質 (T) を持つ。
• $G$ が非退化条件を満たす $Φ$ による順序付けられた群であるとき、根部分群の和集合 $⋂_{\alpha \in \Phi} X_α$ は $G$ のカジラン部分集合をなす。
• すべてのランク ≥ 2 の型の有限単純リー型群に上に射影される性質 (T) を持つ「母集団群」が存在し、これによりこれらの群における拡張性質の統一的証明が可能となる。
• 半直積 $Γ = (Φ_p(R) \times Φ_q(R)) \ltimes N^{pq}$ における対 $(Γ, N^{pq})$ の相対カジラン定数は、$\kappa_r(Γ, N^{pq}; F) > \frac{1}{2K(k,d,p,q)}$ を満たし、$K(k,d,p,q) = 50(\sqrt{k} + \sqrt{d} + \sqrt{p} + \sqrt{q})$ である。
• 証明は、ウェイルグラフ上のラプラシアンを用いたスペクトル基準と、ヒルベルト＝シュミットノルムによるべき零部分群およびボレル部分群におけるコドイスタンスの推定に依拠している。
• 対合を備えた非可換環上でのタイプ $^2D_n$、$^2F_4$、および $^2,^2A_{2n-1}$ のねじれた群も、相対的性質 (T) を持つことが示され、可換環に限らない枠組みへの拡張が達成された。