[論文レビュー] Proportional Approval Voting, Harmonic k-median, and Negative Association

Jarosław Byrka, Piotr Skowron+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 7, 2017

Game Theory and Voting Systems参考文献 27被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、重み付きクライントコストを伴うOWA k-中央値問題の統一的枠組みを導入し、三角不等式を仮定しなくても定数倍近似が可能であることを示している。これは施設配置問題において驚くべき結果である。著者らは、負の相関関係（Negative Association）に基づく従属ラウンドイングを考案し、定数倍近似比を達成した。これは、三角不等式の仮定をしないk-中央値の変種において、初めてのこのような結果である。

ABSTRACT

We study a generic framework that provides a unified view on two important classes of problems: (i) extensions of the k-median problem where clients are interested in having multiple facilities in their vicinity (e.g., due to the fact that, with some small probability, the closest facility might be malfunctioning and so might not be available for using), and (ii) finding winners according to some appealing multiwinner election rules, i.e., election system aimed for choosing representatives bodies, such as parliaments, based on preferences of a population of voters over individual candidates. Each problem in our framework is associated with a vector of weights: we show that the approximability of the problem depends on structural properties of these vectors. We specifically focus on the harmonic sequence of weights for which the objective function interpreted in a multiwinner election setup reflects to the well-known Proportional Approval Voting (PAV) rule. Our main result is that, due to the specific (harmonic) structure of weights, the problem allows constant factor approximation. This is surprising since the problem can be interpreted as a variant of the k-median problem where we do not assume that the connection costs satisfy the triangle inequality. The algorithm we propose is based on dependent rounding [Srinivasan, FOCS'01] applied to the solution of a natural LP-relaxation of the problem. The rounding process is well known to produce distributions over integral solutions satisfying Negative Correlation (NC), which is usually sufficient for the analysis of approximation guarantees offered by rounding procedures. In our analysis, however, we need to use the fact that the carefully implemented rounding process satisfies a stronger property, called Negative Association (NA), which allows us to apply standard concentration bounds for conditional random variables.

研究の動機と目的

• 複数の承認投票と複数施設k-中央値問題を、共通のOWA k-中央値フレームワークで統一的に扱うこと。
• 重みベクトルの構造的性質に基づいて、OWA k-中央値問題の近似可能性を分析すること。
• 調和重み（1, 1/2, ..., 1/k）が特に有利な近似特性をもたらし、定数倍近似を可能にすることを示すこと。
• コストに三角不等式を仮定しない調和k-中央値問題に対する、新たな近似アルゴリズムの開発。
• 標準的複雑性仮定の下で、他の重み系列（例：p-幾何的重み）に対して強い近似不能性結果を確立すること。

提案手法

• 選択された施設におけるクライントコストを集約するために、非増加重みベクトルを用いてOWA k-中央値問題を定式化する。
• ラウンドイングの出発点として、OWA k-中央値問題の自然な線形計画緩和を用いる。
• LP解に対して従属ラウンドイング（Srinivasan, FOCS'01）を適用し、整数の施設集合を生成する。
• ラウンドイングプロセスのより強い負の相関関係（NA）性質を活用し、条件付き確率変数に対する集中不等式を適用する。
• 重みの調和的構造のおかげで、ラウンドイング手順が定数倍近似を達成することを証明する。
• 正確な集合被覆問題（X3C）および集合被覆問題への還元を用いて、一般およびp-幾何的重みに対する近似不能性結果を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 クライント-施設コストに三角不等式を仮定しない場合でも、調和重みを用いたOWA k-中央値問題は定数倍近似可能か？
• RQ2 重みベクトルのどのような構造的性質が、OWA k-中央値問題における定数倍近似を可能にするか？
• RQ3 コストが三角不等式を満たさない場合でも、調和k-中央値問題に対して多項式時間近似アルゴリズムは存在するか？
• RQ4 p-幾何的重み（w_i = p^{i-1}）を用いたOWA k-中央値問題の近似可能性の閾値は何か？
• RQ5 比例承認投票（PAV）ルールは、このフレームワークを用いて多項式時間で近似可能か？

主な発見

• 三角不等式を仮定しなくても、調和k-中央値問題に対して定数倍近似アルゴリズムが存在する。これは、k-中央値の変種において、三角不等式を仮定しない場合に初めての結果である。
• 近似の鍵は、調和的重み構造にあり、これにより従属ラウンドイングにおける負の相関関係を活用し、誤差確率を抑えられる。
• 与えられたフレームワーク下で、調和k-中央値問題に対して多項式時間(1+ε)-近似アルゴリズムが存在する。
• p < 1/e のp-幾何的重みに対しては、P = NP でない限り、定数倍近似アルゴリズムは存在しない。
• λ < 1 のλ-分数の施設のみを考慮する重みを持つOWA k-中央値問題は、P = NP でない限り、任意の正の要因で近似不能である。
• 0-1コストと調和重みに対応する比例承認投票（PAV）ルールは、調和k-中央値フレームワークに含まれ、同じ近似保証を継承する。