[論文レビュー] Proportionally Fair Clustering

Xingyu Chen, Brandon Fain+2 more|arXiv (Cornell University)|May 9, 2019

Game Theory and Voting Systems被引用数 43

ひとこと要約

セントロイドクラスタリングのための比例的公正性を導入し、存在性を分析し、比例解の計算と監査のアルゴリズムを提供し、k-median/k-means目的とのトレードオフを検討する。

ABSTRACT

We extend the fair machine learning literature by considering the problem of proportional centroid clustering in a metric context. For clustering $n$ points with $k$ centers, we define fairness as proportionality to mean that any $n/k$ points are entitled to form their own cluster if there is another center that is closer in distance for all $n/k$ points. We seek clustering solutions to which there are no such justified complaints from any subsets of agents, without assuming any a priori notion of protected subsets. We present and analyze algorithms to efficiently compute, optimize, and audit proportional solutions. We conclude with an empirical examination of the tradeoff between proportional solutions and the $k$-means objective.

研究の動機と目的

• データ点をセンターへの権利を持つエージェントとして扱い、教師なし設定で公正なクラスタリングを動機づける。
• 大きさが十分に大きいグループが利益が生じる場合にはより近い中心を獲得できる、という公正性の保証として比例性を定義する。
• 比例クラスタリング解を効率的に計算・近似・監査するアルゴリズムを開発する。
• 比例公正性と従来のクラスタリング目的（例: k-means, k-median）とのトレードオフを探る。

提案手法

• 保護グループを仮定することなく、公正性を担保するためのブロック協力体（blocking coalition）と比例解を定義する。
• アルゴリズム1（Greedy Capture）を提案。中心の周りにボールを拡大し、十分な点を捕捉したときに中心を開くことで、(1+√2)-比例解を達成する。
• アルゴリズム2（Local Capture）を導入。中心のスワップを通じてより多くの比例クラスタリングを探索し、比例性違反を減らす。
• 比例性を線形計画の制約として定式化し、比例性を保証しつつk-medianを最適化することで定数因子近似を可能にする。
• 比例性制約の下で証明可能な保証を持つ整数解を得るための丸めアプローチ（[8]の改変）を提供する。
• サンプリングによって比例性が保持されることを示し、ほぼ線形時間の監査・検査を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべてのデータセットに対して、比例セントロイドクラスタリングにおける厳密な比例解は存在し得るか。
• RQ2 最悪ケースで達成可能な比例性の近似度はどのくらいか。
• RQ3 比例性制約の下でk-medianを最適化するにはどのようにすればよく、その結果得られる近似はどの程度か。
• RQ4 全ての対距離計算を行わずに、比例解を効率的に監査・検査できるか。
• RQ5 ローカル探索アプローチは、貪欲法を超える実用的な比例性を向上させるか。

主な発見

• 一般には比例解が存在しない可能性があり、2-比例の下限を示した。
• アルゴリズム1は最悪ケースで(1+√2)-比例クラスタリングを達成し、存在下限の2に近い。
• 比例性制約付きLPは、最良の比例解のk-median目的に対してO(1)近似をもたらす。
• 比例クラスタリングを仮定し、目的関数をcとした場合、k-median目的の定数因子近似（8c）が達成可能。
• サイズ Õ(k^3)のランダムサンプリング下で比例性はほぼ保持され、ほぼ線形時間の検査・監査を可能にする。
• ローカルキャプチャヒューリスティック（Algorithm 2）は、実務上ほぼ比例的な解を見つける。