[論文レビュー] Propositional equality, identity types, and direct computational paths

Ruy J. G. B. de Queiroz, Anjolina Grisi de Oliveira|arXiv (Cornell University)|Jul 10, 2011

Logic, programming, and type systems被引用数 14

ひとこと要約

この論文は、反射的原始に依存せずに、再帰的置換と置換の列によって形成される経路として同一性型を扱うことで、型理論における命題的同一性の計算的解釈を提案する。複数の異なる正規証明が存在しうることを示し、同一性証明の唯一性（UIP）を反証するとともに、同一性証明を計算的経路としてモデル化することでホモトピー型理論と整合する。

ABSTRACT

In proof theory the notion of canonical proof is rather basic, and it is usually taken for granted that a canonical proof of a sentence must be unique up to certain minor syntactical details (such as, e.g., change of bound variables). When setting up a proof theory for equality one is faced with a rather unexpected situation where there may not be a unique canonical proof of an equality statement. Indeed, in a (1994--5) proposal for the formalisation of proofs of propositional equality in the Curry--Howard style, we have already uncovered such a peculiarity. Totally independently, and in a different setting, Hofmann & Streicher (1994) have shown how to build a model of Martin-Löf's Type Theory in which uniqueness of canonical proofs of identity types does not hold. The intention here is to show that, by considering as sequences of rewrites and substitution, it comes a rather natural fact that two (or more) distinct proofs may be yet canonical and are none to be preferred over one another. By looking at proofs of equality as rewriting (or computational) paths this approach will be in line with the recently proposed connections between type theory and homotopy theory via identity types, since elements of identity types will be, concretely, paths (or homotopies).

研究の動機と目的

• 命題的同一性に明示的な再帰的置換識別子が存在しないことによる、正規証明構造の欠如という型理論における基礎的問題を解決すること。
• 同一性型の正規証明の一意性という仮定に反するが、ホフマンとシュトライヒャーの群手綱モデルとは矛盾しない、同一性型証明の正規証明が複数存在しうることを挑戦すること。
• 同一性型を、計算的経路を自然に捉える形で再定式化し、ホモトピー型理論における同一性を経路またはホモトピーとして捉える視点と整合させること。
• 再帰的置換と置換の列を対象言語内での第一級実体として扱う、等価性の証明論的基盤を提供すること。
• 同一性型の群手綱法則を正当化し、同じ等価性の複数の異なる正規証明がすべて有効であることを示すこと。

提案手法

• 再帰的置換と置換の列を明示的な識別子で表す、同一性型の導入規則の新規定式化：$ \frac{a =_s b : A}{s(a,b) : \mathrm{Id}_A(a,b)} $、ここで $ s $ は再帰的置換と置換の列を表す。
• 一般等価性規則（反射性、対称性、推移性）を、計算的経路を表すメタレベル識別子（$ \rho, \sigma, \tau $）を用いて定義する。
• 等価性証明を項置換系（TRS）の項としてモデル化し、具体的には $ LND_{EQ} $-TRS を用いて等価性証明の計算的挙動を形式化する。
• 再帰的パス順序（RPO）を用いて置換系の停止性を証明し、すべての証明が正規形に簡約されることを保証する。
• Knuth–Bendix 完全化手順を用いて結合性を確立し、すべての簡約経路が一意の正規形に到達することを保証する。
• 再帰的パス順序を、部分項から導かれる演算子（例：$ \mathrm{sub}_L, \mathrm{sub}_R $）を扱えるように拡張し、複雑な置換規則をサポートする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 型理論における命題的同一性は、再帰的置換と置換の列を第一級の計算的経路として扱う形で形式化可能であろうか？
• RQ2 標準的な同一性型の定式化は、同じ等価性の複数の正規証明をどうして説明できないのか？
• RQ3 複数の異なる正規証明が等しく有効であり、どれも優先されないような、等価性の証明論をどのように構築できるか？
• RQ4 同一性型の群手綱構造は、計算的置換経路を通じてどの程度自然に捉えられるか？
• RQ5 複数の正規証明が存在することは、等価性の置換系の結合性や停止性と矛盾するだろうか？

主な発見

• 本論文は、同じ等価性文の複数の異なる正規証明が存在しうることを確立し、これは同一性証明の一意性の原則（UIP）を直接反証する。
• 置換系 $ LND_{EQ} $-TRS は、再帰的パス順序と Knuth–Bendix 完全化手順を用いて、停止性および結合性の両方が証明されている。
• このシステムは、各経路が再帰的置換と置換の列に対応する計算的経路として、同一性型を効果的にモデル化している。
• 再帰的置換列に明示的な識別子を導入することで、型理論における誤った二分法を解消し、同一性の計算的性質をより明確にした。
• 同一性証明を経路として扱うことで、ホフマンとシュトライヒャーのモデルが要請する群手綱法則が自然に正当化される。
• システムの結合性により、同じ等価性の複数の異なる正規証明が存在しても、すべての簡約経路が一意の正規形に到達することが保証される。