[論文レビュー] Propositional Logics Complexity and the Sub-Formula Property

Edward Hermann Hæusler|Jan 31, 2014

Logic, Reasoning, and Knowledge参考文献 15被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、ある命題論理（可能性的にモーダル論理を含む）が自然演繹系を備え、その部分論理式の性質を満たす場合、その論理はPSPACEに属することを確立している。もし論理に最小論理の純粋含意的断片（$ \mathbf{M}_{\rightarrow}$）が含まれるならば、PSPACE完全性に達する。主な貢献は、部分論理式の原則と計算複雑性の境界を結ぶ証明論的技法の確立であり、Statmanの結果を拡張し、有限多値論理に対してもそのトートロジー集合がPSPACEに属することを示している。

ABSTRACT

In 1979 Richard Statman proved, using proof-theory, that the purely implicational fragment of Intuitionistic Logic (M-imply) is PSPACE-complete. He showed a polynomially bounded translation from full Intuitionistic Propositional Logic into its implicational fragment. By the PSPACE-completeness of S4, proved by Ladner, and the Goedel translation from S4 into Intuitionistic Logic, the PSPACE- completeness of M-imply is drawn. The sub-formula principle for a deductive system for a logic L states that whenever F1,...,Fk proves A, there is a proof in which each formula occurrence is either a sub-formula of A or of some of Fi. In this work we extend Statman result and show that any propositional (possibly modal) structural logic satisfying a particular formulation of the sub-formula principle is in PSPACE. If the logic includes the minimal purely implicational logic then it is PSPACE-complete. As a consequence, EXPTIME-complete propositional logics, such as PDL and the common-knowledge epistemic logic with at least 2 agents satisfy this particular sub-formula principle, if and only if, PSPACE=EXPTIME. We also show how our technique can be used to prove that any finitely many-valued logic has the set of its tautologies in PSPACE.

研究の動機と目的

• 部分論理式の性質に基づいて、命題論理におけるPSPACE属する一般証明論的基準を確立すること。
• 直観的論理の含意的断片に関するStatmanのPSPACE完全性結果を、より広範な構造的論理のクラスへと拡張すること。
• 任意の有限多値論理がそのトートロジー集合をPSPACEに含むことを、証明論的技法を用いて示すこと。
• PDL や2人以上の参加者の共通知識認識論理といったEXPTIME完全論理が、部分論理式の原則を満たす条件を調査し、PSPACE対EXPTIMEの問題に結びつけること。
• この手法がラベル付き自然演繹系および論理の1階部分への適用可能性を検討すること。

提案手法

• 任意の論理定数をその導入・除去規則によって定義できる、自然演繹における一般化された規則スキーマの形式化。
• 部分論理式の原則を、導出における制約として定義：導出内のすべての論理式の出現は、結論または前提の部分論理式でなければならない。
• 部分論理式のみを含む導出に対する多項式空間で有界な探索を用い、部分論理式の性質を活用して探索空間を制限する。
• この技法を用いて、部分論理式の性質を満たす任意の論理の妥当性問題がPSPACEに属することを示す。
• 論理に$\mathbf{M}_{\rightarrow}$ が含まれる場合、既知のPSPACE完全問題への還元により、妥当性問題がPSPACE完全であることを示す。
• 評価の再利用を活用して、すべての割り当てにおける真理値評価を多項式空間で行えることを示し、この手法を有限多値論理へと拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 命題論理の自然演繹系がどのような条件下で妥当性問題がPSPACEに属するか。
• RQ2 完全な調和（導入・除去規則の完全な整合性）がなくても、部分論理式の性質だけがPSPACE属する論理を保証できるか。
• RQ3 $ \mathbf{M}_{\rightarrow}$ のPSPACE完全性が、それを拡張する任意の論理のPSPACE完全性を示唆するのに十分か。
• RQ4 PDL や2人以上の参加者を含む共通知識認識論理といったEXPTIME完全論理と、部分論理式の性質との関係は何か。
• RQ5 この証明論的技法は、モーダル論理や認識論理で用いられるラベル付き自然演繹系へと拡張可能か。

主な発見

• 自然演繹系が部分論理式の性質を満たす任意の命題論理は、その妥当性問題がPSPACEに属する。
• 論理に最小論理の純粋含意的断片（$ \mathbf{M}_{\rightarrow}$）が含まれる場合、その妥当性問題はPSPACE完全である。
• 任意の有限多値論理の妥当性問題はPSPACEに属する。これは、論理式の真理値評価を多項式空間で計算可能であり、評価間でメモリを再利用できるためである。
• PDL や2人以上の参加者を含む共通知識認識論理といったEXPTIME完全論理が部分論理式の性質を満たすのは、PSPACE = EXPTIME が成り立つ場合に限る。
• この手法は、逆転原理や導入・除去規則の完全な調和を必要とせず、部分論理式の性質と一般化された規則スキーマにのみ依存している。