[論文レビュー] PROPs for involutive monoids and involutive bimonoids

Daniel Graves|arXiv (Cornell University)|May 16, 2020

Advanced Algebra and Logic被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、自己対合的非可換集合のプロップとその双対を用い、分配法則を用いて自己対合的モノイド構造とコモノイド構造の整合性を符号化することで、$ Q = \mathcal{IF}(as) \otimes_{\mathbb{P}} \mathcal{IF}(as)^{op} $ と表されるプロップ $ Q $ を導入する。主な結果として、任意の対称モノイダル圏における $ Q $-代数の圏が自己対合的バイモノイドの圏と同値であること、すなわち、それらの普遍的代数的構造を記述するための圏論的枠組みを提供する。

ABSTRACT

The category of involutive non-commutative sets encodes the structure of an involution compatible with a (co)associative (co)multiplication. We prove that the category of involutive bimonoids in a symmetric monoidal category is equivalent to the category of algebras over a PROP constructed from the category of involutive non-commutative sets.

研究の動機と目的

• 対称モノイダル圏における自己対合的バイモノイドの普遍的代数的記述をプロップを用いて行う。
• バイアルゲブラのためのプロップに関する先行研究を拡張し、自己対合的構造を統合する。
• 二重圏としての双写像の族を用いて、自己対合的モノイドとコモノイド構造の整合性を形式化する。
• $ Q $-代数と自己対合的バイモノイドの間の圏同値を確立し、ピラシヴィリおよびレックの手法を一般化する。

提案手法

• 自己対合的非可換集合の圏から一般化されたクイレン $ Q $-構成を用いてプロップ $ \mathcal{IF}(as) $ を構成する。
• 双写像が自己対合的モノイドとコモノイド作用の整合性条件を符号化する二重圏 $ \mathcal{IF}(as)_2 $ を定義する。
• 分配法則を用いて、自己対合的モノイドとコモノイド構造の整合性を保証する合成プロップ $ Q = \mathcal{IF}(as) \otimes_{\mathbb{P}} \mathcal{IF}(as)^{op} $ を構成する。
• 分配法則を用いて、$ \mathcal{IF}(as) \otimes \mathcal{IF}(as)^{op} $ 内のスパンの同値類としての射を定義し、中間対象上で双対写像によって同値関係を与える。
• レックの合成プロップ理論を活用し、$ Q $-代数が正確に自己対合的バイモノイドに対応することを示す。
• 二重圏 $ \mathcal{IF}(as)_2 $ 内の基本的双写像の整合性条件が、自己対合的バイモノイドの基本的公理に一致することを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、対称モノイダル圏における自己対合的バイモノイドの構造を、プロップによって普遍的に捉えることができるか？
• RQ2 自己対合的非可換集合は、自己対合的モノイドのためのプロップを生成する上で果たす役割は何か？
• RQ3 自己対合的モノイドとコモノイド構造の整合性を、プロップ枠組みの中で代数的に符号化する方法は何か？
• RQ4 分配法則による合成プロップ構成は、自己対合的バイモノイドの完全な構造を捉えることができるか？
• RQ5 双写像の二重圏と、得られるプロップの普遍的性質との関係は何か？

主な発見

• 対称モノイダル圏 $ \mathbf{C} $ における $ Q $-代数の圏は、$ \mathbf{C} $ における自己対合的バイモノイドの圏と同値であり、$ Q $ がこの構造の普遍的プロップであることが確立される。
• プロップ $ Q $ は合成 $ \mathcal{IF}(as) \otimes_{\mathbb{P}} \mathcal{IF}(as)^{op} $ として構成され、分配法則により自己対合的モノイドとコモノイド作用の整合性が保証される。
• 二重圏 $ \mathcal{IF}(as)_2 $ 内の基本的双写像は、自己対合的バイモノイドに必要な整合性公理を符号化している。
• 同値関係は射の間で保存される：$ \mathbf{C} $ 内の射が自己対合的バイモノイドの射であることと、$ Q $-代数構造を保存することは同値である。
• この構成は、バイアルゲブラのためのプロップに関する先行結果を一般化し、$ Q_{\mathcal{V}} $、$ Q_{\mathcal{H}} $、$ Q_{\mathcal{IF}} $ はそれぞれ可換、コ可換、可換・コ可換自己対合的バイモノイドの普遍的プロップをもたらす。
• 証明は、基本的双写像によって誘導される図式の可換性を検証することに依拠しており、それらは正確に自己対合的バイモノイドの公理に対応する。